Kroneckkr : Coiriplexe Zahlen und Modulsj-steme. 449 



sirt, wälurnd für die ganzen Functionen F {y, ,y^, . ..y,), welche der 

 ersten Gruppe angehören und als solche durch die Congruenz: 



F{y,,y., ■ ■ ■ y,) = o (modd, N', N", N'", . . .) 

 dcfinirt werden, keine reciproken Functionen existiren. 



Ein Product ganzer Functionen von y^ , y, , ■ ■ ■ y„ gehört dann 

 und nur dann zur zweiten Gruppe, wenn jeder von den Facto ren 

 dazu gehört. Denn wenn die Functionen G und G, zur zweiten 

 Gruppe gehören und deren reciproke Functionen derselben (iruppe 

 mit G, (/, bezeichnet werden, so ist: 



a G-^ i , G,G,^i , also GG,'GG,^i (modd. N', N", N'", . . .) , 



und die letztere Congruenz charakterisirt das Product GG^ als eine 

 Function der zweiten Gruppe. Andererseits wird durch die aus der 

 ( 'ongruenz F^^o folgende Gongruenz : 



F{y, , y-, , . . . y.) ^(y,,y._, . . . y.) = o (modd. N', N", N'", . . .) ' 

 das Product von F mit ii-gend einer ganzen Function 4> als iler 

 ersten Gruppe aiigehöi'ig charakterisirt. 



Ein Product ganzer Functionen von y, ,y., , . . . y, enthält also das 

 Divisorensystem (iV', iV", iV'", . . .) nur dann, wenn irgend einer der 

 Factoren dasselbe enthält. 



Für jede der complexen Zahlen a^ + a, i, -\- a^K_ ■\- . . . -\r «,. K , 

 deren Coefficienten ng.a,,n^,...a„ dem Rationalitätsbereich (SR',9l",9t"', .••) 

 angehören und deren Coefficientensystem : 



c'^'-^\ rf-^\ . . . rf''*'» (Ä < t ; A , i- = 1 , 3 , . . . .') 



durch die Elemente eines Primmodulsystems {N' , JS", N'", . . .) be- 

 stimmt ist, giebt es daher eine solche, die ihren reciproken Werth 

 darstellt, und es gilt für diese complexen Zahlen der Satz, dass ein 

 Product nur dann gleich Null werden kann, wenn einer der Factoren 

 gleich Null ist. 



VUI. Gemäss den schon oben angeführten , in meiner erwähnten 

 Abhandlung auf S. 337 des 9g. Bandes des Journals f. Math, ent- 

 wickelten Begriffsbestimmungen ist das Divisorensystem (N',N",N"',...) 

 nicht Primmodidsystem, wenn es andere Divisorensysteme i/ter Stufe 

 O^t, 'i)l ", '!)r ", . . .) enthält. Es bestehen alsdann Gleichungen: 



(E) iY<'" - 51' %\',, + 5r' %<; + W %'+... (A = . , 2 , 3 , . . .) , 



in welchen %'\'/, , "]}/,', ^/,", . . . ganze Functionen von ^, , y, , • • • »/,, mit Co- 

 efficienten des Rationalitätsbereichs (?)?', 9v", Si'", . . .) bedeuten, während 

 lungekehrt wenigstens nicht alle Functionen 91 sich in der Form: 



N'P'+N"P"+N"'F"+ ... 



