Kronecker: Complexe Zahlen und Müdulsjsteme. 455 



Dieses Product muss also gleich Null sein, und es ergiebt sich daher, 

 dass die Discriminante eines jeden Divisors von 



F{u,x^ + u.,x^ + . . . + II „x„) , 



der — ebenso -^vie F selbst — das Divisorensystem (F, , F, , . . .) 

 enthält, nothwendig gleich Null sein muss, wenn die Dis- 

 criminante dieses Divisorensystems selbst gleich Null ist. 

 Nimmt man die v Variabein y^,yi,, ■ ■ .y, an Stelle der n Variabeln 

 a:, , a-. , . . . x„ und das Divisorensj'stem (iV', N" , N'", . . .) an Stelle des 

 Di^^so^ensystems (F, , F, , . . .) , so tritt die oben im art. IX mit 



-^("■^1 + **22/2 + • • • + w„»/,. ; ", , u-i , ■ ■ ■ «v) 

 bezeichnete Function an Stelle von 



F(?/, X^ + «2^2 + . • • + ltnX„ ; ?/, ,?«,,... ?/„) , 



und der am Schlüsse des art. EX aufgestellte Satz, dass die Discriminante 

 (oder Discriminante nform) des Systems (N\ N", N'", . . .) nur dann gleich 

 Null sein kann, wenn die Discriminante \o\\ K{y„\ ?/,,?/,,... »J -gleich 

 Null ist. findet also in den oltigen Entwickelungen seine Begründung. 

 Xin. Ist /(yo! ^'i> «2 , . . . v/,) ein Divisor möglichst niedrigen 

 Grades von R{yo; «, , "2; • • • ".)j welcher — ebenso wie R selbst — 

 das Divisorensystem {N', N", N"', . . .) enthält, so muss gemäss dem 

 im vorhergehenden Abschnitt bewiesenen Satze die Disciüminante von 

 fiyolUi, u^,...ii^ gleich Null sein, wenn die Discriminante von 

 {N', N", N'", .. .) gleich Null ist; die Function f(y^) muss als'o gleiche 

 Factoren enthalten. Wenn nun mit g [y^, : 11 ^ ,«/,,... u,) der grösste 

 gemeinschaftliche Theiler der Function / und ihrer Ableitung /' und 

 mit /o der Quotient der Division von / durch g bezeichnet wird, so 

 ist /o(i/o; "i! ''2, ■ . • w,.) offenbar eine ganze Function von y^jU^jU^, . . .u,, 

 deren Coefficienten dem Rationalitätsbereich (SR', SR", SR'", . . .) angehören, 

 und welche jeden Linearfactor von f{yo) nur ein Mal enthält. Eine 

 Potenz von _/ö muss also durch / theilbar sein, und wenn r den 

 kleinsten Exponenten bedeutet, für den dies der Fall ist, so muss: 



fo («1 y, + u2y. + .■■ + iK.y. ; «, , u.. ,■■■ ?«„) 



das Divisorensystem (W, N" , N'", . . .) enthalten oder nicht enthalten, 

 je nachdem h > r oder h < >• ist. 



Man sieht hieraus, dass es füi* Divisorensysteme {N', N",N"', . . .), 

 deren Discriminante Null ist, stets ganze Functionen der Variabein y 

 giebt, welche erst zu einer gewissen Potenz erhoben congruent NuU 

 werden. Dass dies auch für Di^asorensysteme mit verschwindender 

 Discriminante charakteristisch ist, soll im folgenden Abschnitte 

 dargeth an werden, in welchem die Divisorensysteme {N',N",N'", . . .), 



