Kronecker: Coniplexe Zahlen und Modiilsysteme. 457 



fo{>',]Ji + "2^2 + ■ • • + iK!/,) = o (mod. R(u,i/, + 'U.jj^ + . . . + «,.?/„)) 

 sein. Da aber modulls N',N", N'", . . . die Congruenzen : 



bestehen , so zeigt sich , dass die Congruenz : 



'Pi!/i,y2,--- y.) ^ o (modd. N', N", N'", . . .) 

 erfüllt sein muss. Diese Congruenz erweist sich demnach als eine 

 Folge der obigen Congruenz <p'' ^ o; 



es giebt also keine ganzen Functionen von y, ,y.,, . . .y„, die 

 erst zu einer gewissen Potenz erhoben für das Divisorensystem 

 (N',N",N"', . . .) congruent Null werden, wenn die Discri- 

 minante desselben von Null verschieden ist. 

 Das Divisorensystem {N' , N" , N'", . . .) ist, wie schon im art. IX 

 erwähnt worden , nicht prim , wenn R (y^) im Rationalitätsbereich 

 (^o, SR', 91", . . .) reductibel ist. Wird nun die Voraussetzung fest- 

 gehalten , dass die Discriminantenform von {N', N", N'", . . .) von Null 

 verschieden ist, und bezeichnet man mit R,{yo) und R.{y^ zwei com- 

 plementäre,. dem Rationalitätsbereich (?/o , 5R', SR", . . .) angehörige Divi- 

 soren von R(yo) , für welche also: 



ist, und setzt man endlich: 



R, (",y, + u,y, + ... + u,:y,) = ip{y,. y,, . . . y,) , 



R,{u,y, + «2^2 + ■ • ■ + K/y.) = ^ (,!/i > ^2 > • • • y.) , 



so sind </)(yi , //. , . . . */„) und -v^ ( ?/, , y, , . . .y,,) zwei ganze Functionen der 

 Variabein _;/ mit Coefficienten des Ratioualitätsbereichs (SR', SR", . . .) , 

 welche, mit einander multiplicirt, ein das Divisorensystem [N', N",N"', . . .) 

 enthaltendes Product ergeben , ohne dass doch eine der beiden Functionen 

 (p , "4/ selbst das Divisorensystem {N', N", N'", . . .) enthält. Denn aus 

 der (Kongruenz : 



(p (y, ,y.,,.. -y) ^ Ri (««, y, + W2 ^2 + • ■ • + ''■Ky) ^ o (modd. N', N", N'", . . .) 

 würde, wie oben, folgen, dass R^(u^y^ -\- u^y^ + . . . + u,.y„) für alle 

 verschiedenen Werthsysteme der Variabein y gleich Null würde , für 

 welche die Gleichungen: 



N'= o, N"= o, N"'= o,... 

 erfüllt werden, d. h. also auch füi* alle diejenigen, für welche 



Ri («.y. 4- »'2^2 + . . • + njj) = o 

 ist. 



XV. A^ergleicht man das hier entwickelte Resultat mit demjenigen, 

 welches am Schlüsse des art. XIII formulirt worden ist, so zeigt es 

 sich als eine charakteristische Eigenschaft der Nicht -Primmodul- 



