Kronecker: Complexe Zahlen und Modulsysteme. 461 



2 cj''{x,y)^ <p{x)y^{x,y) + -^{y)^{x,y), 



in wolclier v\ , 6 ganze Functionen von x und y bedeuten. Für den 

 Ausdruck auf der rechten Seite findet aber die Congruenz: 



{cp {x) yi{x,y)+^{y)Hx, y))'^'"' = o (modd. f (x) , 4^^ (//)) 



statt, da bei der binomischen Entwickelung jedes GUed entweder 

 durch <p''{x) oder durch ■^'' {y) theilbar ist; jede ganze Function /(a;,y) 

 genügt daher für das Modulsystem (</)'' [x) , 4^^ [yn einer Congruenz 

 vom Grade Xjx{p -\- q — i) , also einer Congruenz von niedrigerem 

 Grade als Xixpq, sobald die Zahlen p und q beide grösser als Eins 

 sind. Die verschiedenen Potenzen einer ganzen Function von x und y 

 können also nicht mehr als X}x{p-\-q — i) verschiedene, d.h. von 

 einander linear unabhängige Elemente des Fundamentalsystems liefern, 

 und sie reichen daher zur Bildung des vollständigen Systems von 

 Xupq Elementen nicht aus. Es ist deshalb auch unmöglich, die ent- 

 sprechenden complexen Zahlen: 



A i- • \k = 0,l ,2,...u,j- l/' 



für Avelche die Rechnungsregeln durch die Bedingungen: 



gegeben werden, auf complexe Zahlen der oben angegebenen Art: 



^o + b,io+ K «0 + . . . + h^ i; 

 zurückzuführen . 



XVin. Sind Cq , r, , ^2 , . . . ^„ mibestimmte Variable mid ist 

 F (Cj, + y, -, + ... + y., z.) eine ganze. Function des in Parenthesen ein- 

 geschlossenen Arguments, so genügt dieselbe einer Congruenz: 



F[z, + y. ~, + . . . + y.z)^^ y, /<*■' {z, ,z,,. ..z;} (modd. N', N", N'", ...), 



wenn hier y^ ^ i und das Divisorensystem {N' , N", N'", . . .) in jener 

 schon im art. I angegebenen Bedeutung genommen wird. Dabei sind 

 die Ausdrücke /**' auf der rechten Seite ganze F'unctionen der Varia- 

 bein z, und die Differentiation nach Zf, ergiebt, wenn man die nach 

 ~yi genommene partielle Ableitung von y'''* mit //* bezeichnet, die 

 C'oneTuenz : 



