462 Sitzung der pliys.-matli. Olasse v. 19. April. — Mittheiliing v. 12. .Xpril. 



Der Ausdruck auf der linken Seite verwandelt .sich l)ei Anwen- 

 dung der Relationen: 



y^y, = c^^'+'i^f'-'V.- (modd. N\ N", N'", . . .) 



in eine lineare Function von y, , y^, ■ ■ ■ y,., dei-en einzelne Coefficienten 

 gleich Null sein müssen, und man gelangt auf diese Weise zu den 

 Gleichungen : 



Ist die Determinante: 



I d'-*' I (A,/t=.,2,...v) 



nicht gleich Null, so bestimmen sich die v Functionen /j*'' als lineare 

 homogene Ausdrücke der v + 1 partiellen Ableitungen von /'"'. Als- 

 dann bestimmen sich alle ül)rigen Functionen fj;'^ durch die v Functionen 

 //' und durch /J°', und es la.ssen sich somit die je i' -f i ersten Ab- 

 leitungen sämmtlicher v + i Functionen/'^' durch diejenigen von/'"' 

 linear und homogen ausdrücken. Sind diese Ausdrücke durch die 

 Gleichungen : 



Jh — 7 Jik Jk (/( , 1 , A- ^ o, 1, . . . r) 



gegeben, so gehen daraus durch weitere Differentiation nach z^.z^, ...z,. 

 die Gleichungen: 



J,ß — 7 ///.■ ./,/* ( </, /i , - . A- = o, I, . . . v) 



hervor, in welchen f,ß die zweite nach den Variabein z^ und Zf^ 

 genommene Ableitung von / bedeutet. Aus diesen Gleichungen folgen 

 unmittelbar die Relationen : 



7 T,A- Jgk — 7 '.VI- Jhk {g^ A, ,, i- = O. I. . . . v) . 



welche zwischen den :|- (v + i) (v + 2) zweiten Ableitungen der einen 

 Function /*"' bestehen, und daraus ergeben sich dann ähnliche Re- 

 lationen, welche zwisclien den ^l" + (" + 2) zweiten Ableitungen 

 jeder der andern Functionen /"' stattfinden. 



Die vorstehende Entwickelung zeigt, wie man durch Functionen von : 



modulis N', N", N"', . . . })etrachtet , zu »Systemen von Functionen« 

 der Variabein c„ , j, , . . . ~-„ geführt wird , bei denen die verschiedenen 

 Functionen durch gewisse lineare homogene partielle Differential- 

 gleichungen erster Ordnung mit einander verbunden sind, während 

 jede einzelne Fmiction gewissen linearen homogenen partiellen Diffe- 

 rentialgleichungen zweiter Ordnung simultan genügt. 



