Kronecker: Complexe Zahlen und Modulsysteme. 463 



So kommt man , wenn man für das Modulsystem (N', N", N'", . . .) 

 den einfachen Modul if — a nimmt und : 



F{z, + yz,) = /'">(.^„ , z,) + yp\z, , c.) (mod. f - a) 

 setzt, zu dem System von Functionen: 



{r>(z,,z,),r^(z,,z,)), 



lui- welche die partiellen Differentialgleichungen: 



gelten. Die Function /•" bestimmt sich demgemäss aus /*"' mittels 

 der Formel: 



q/-"» (c„ , .^) = a |y-r (c„ , z,) dz, + (fh(z, , ^,) dz, , 



in welcher ^^ , ^, beliebige Constanten Vjedeuten. 



Nimmt man ferner für das Modulsystem (N', N", N'", . . .) den 

 einfachen Modulj/^-oy— 6 und setzt in Beziehung auf eben diesen Modul: 



F{z, + yz,+y-z,)=f'>\z,,z,,z:)^yP^>{z,,z„z:)^-yy^^\z,,z„z,), 

 so gelten für das System von Functionen: 



(/<°>{., , Z, , ^,) , f'^iz^ , Z, , Z,) , /'='(^o , ^~, , ^%)) 



die Relationen: 



mittels deren sich die Functionen/'"' und /'-' aus /*°' bestimmen; aui, 

 diesen ergeben sich die zwischen den zweiten Ableitungen jeder ein- 

 zelnen Function bestehenden je 3 Gleichungen, von denen ich hier 

 imr die auf /'°' bezüglichen anfülire : 



f^' = //r' , //°* = af^ + ¥£' , fi? = «//r' + ¥^ ■ 



Nimmt man endlich für das Modulsystem {N', N", N'", . . .) den 

 einfachen Modul j/-* + 2^ + i , dessen Discriminante gleich Null ist, 

 und setzt man in Beziehung auf eben diesen Modul: 



^(^0 + ^^, + y-z. + f^,) = /<°' + uf"' + f-f'' + fP' , 



so bekommt man erstens die folgenden Relationen zwischen den ver- 

 schiedenen Functionen /: 



/•(■) ,^(0) f(0} f{l) ^-(0) ^(I) f(o) f{l) ^(o) 



jo -Vi J3 ' yi Jo ' j2 — ji ! j-j — J2 > 



/o'=* = -ff , //^' = -fr > f^ = /o*"' + ^/r , fr = fr + 2/f' , 



/■(3) _ /(o) ^ y(3) _- f(o) f (3) ^ f{o) ^(3) -- f{o) 1 2^(0) 



zweitens die folgenden Relationen zwischen den Ableitungen von /'"': 



/•(o) f{0) f(0) ^(O) ^(0) _ ^(o) _ „ ^(o) ^(o) ^(o) _ „ flo) 



J \\ J 02 ; ,/l2 y03 5 y 13 yoo "V02 ) ^22 — ./ OO ■',/ 02 I 



/•(o) — _ /•(«) __ of(°) fio) — o /•(<>) _L o /"(o) 

 y23 yoi -vos > ^33 "Voo T^ 0^02 • 



