Kronecker: Complexe Zahlen und Modulsysteme. 465 



detinirt, in welchen F(z) eine beliebige Function einer Variabein r 

 bedeutet, so genügen die Functionen /'"' an sieb den im vorher- 

 gehenden Abschnitte hergeleiteten partiellen Differentialgleichungen: 



k 



und sie ergeben die allgemeinsten Lösungen derselben. 



XX. Wenn die Discriminante des Divisorensystems {N' , N" , N'" — ) 

 gleich Null ist, so kann man durch lineare Transformation der 

 Variabein z gewisse Reductionen der partiellen Differentialgleicliungen 

 erlangen. Aber solche Reductionen, aus denen, wie im Falle des 

 art. XIX, die vollständige Lösung unmittelbar resultirt, habe ich im 

 Falle verschwindender Discriminanten noch nicht ermittelt. 



Setzt man an Stelle des schon im art. XVIll als Beispiel an- 

 geführten Moduls y* + 2y' + I das damit übereinstimmende Modul- 

 system : 



(x^ , y^ — X + i) , 



dessen Discriminante offenbar gleich Null ist, so wird: 



F{z, + yz, + x{z, + yz^) = F(z, + yz,) + x (c, + yz^j F'(z, -f yz,) , 



wo F' die Ableitung der Function F bedeutet. Sind also die Functionen 

 von vier Variabein z„, z,, z^_, z.^ : 



ZU bestimmen, für welche: 



^(^-o + y^. + x{z,+ yz^)) E^/'°' + y/" + xf^' -f xyp^ (modd. x\y-^x+i) 



wird, so hat man nur die Functionen von zwei Variabein <p(Zg,z^) 

 zu bestimmen, füi* welche: 



F{z„ + yz,) = (/)'°' + y(/)<" + x^^-'' + xy<p^'^^ (modd. x',y'' — x+\) 

 ist. Differentirt man einerseits nach z^, andererseits nach c,, so erhält 

 man die Relationen: 



¥S' = ^-S" . <Pf' = - < . <P^o' = <p['' , 'Pf' = - fi'^ + ^^-i" . 



in welchen (pf^ die nach Z;, genommene partielle Ableitung von </)'^'' 

 bedeutet. Die ersten beiden Relatioiien charakterisiren die Functionen 

 (/)'°' , (/)'" in der Weise, dass (/)'°' -f /^"* eine Function der complexen 

 Variabein z^ + iz, sein soll. Alsdann sind aber noch die Functionen (/)*■' 

 und (^'-^' gemäss den anderen beiden partiellen Differentialgleichungen 

 zu bestimmen. 



(Fortsetzung folgt.) 



Ausgegeben am 26. April. 



Berlin, (jedruckt in der Reichsdruckei 



