Kronecker: Coniplexe Zahlen und Mudiilsysteme. 55.) 



hinreichenden Anzahl, bestimmen, durch welche alle Functionen des 

 Theilbereichs ((/>) tnodulis M', M", M'", . . . ganz, linear und homogen 

 mit Coefficienten des Rationalitätsbereichs (91', W, W . . .) dargestellt 

 werden können. Dies ist ferner auch dann möglich, wenn man sich 

 auf diejenigen Functionen jenes Theilbereichs {<p) beschränkt, welche 

 kein von f^, f^, . . . f^ unabhängiges Glied enthalten.' 



Bezeichnet man nun mit <p\, fl, . . , <p° Functionen des Theil- 

 bereichs ((/)) in möglichst geringer Anzahl, durch welche sicli alle jene 

 besonderen Functionen desselben Theilbereichs ganz, linear und homogen 

 tnodulis M' , M'' , M'" , . . . darstellen lassen, so bestehen ~p{p-{-\) Con- 

 gruenzen : 



(plf^ = rf •'•>° + d*'"''«?'? + . . ■ + ff' (p° (modd. M', M", 31'". . . .) , 



(h <k\ h,k= 1,2, ...f) 



in welchen die Coefficienten c dem Rationalitätsbereich (9t', 9i", SH "', . . .) 

 angehören, aber es besteht keine Congruenz: 



C,<p°+C,ip° + ... + a(p°EEo (modd. 31', 31", 31'", . . .) , 



in welcher die Coefficienten C von den Variabein x unabhängig sind. 

 Benutzt man, wie im art. I, die Coefficienten r'*''' zur Bildung eines 

 aus den 7 /J (p + ' ) Elementen : 



y^^A-- ff''V- 4*'*V. - • • • - <'*V, (^^^••' A,^=.,2,...p) 



bestehenden Divisorensystems (iV^, N'^, N'ö', . . .), so erschliesst man 

 genau ebenso wie im art. I, dass jede ganze Function der Variabein y, 

 deren Coefficienten dem Rationalitätsbereich (9?', 9t", 9t'", . . .) angehören, 

 wenn sie kein von den Variabein y unabhängiges Glied enthält, sich mo- 

 dulis iVo' , Ng', N'ä', . . . als ganze lineare homogene Function der p Varia- 

 bein y mit v ö 11 i g b e s ti m m t e n Coefficienten des Bereichs (9t', 9t", 9t'", . . .) 

 darstellen lässt, und dass das Divisorensystem (i^o , iV^', iV^", . . .) vom 

 Range p ist. 



Offenbar erhält man auf die angegebene Weise alle Systeme von 

 Coefficienten c, welche zur Bildung complexer Zahlen f/,/, + «^^ +• • --^('i^ 

 geeignete Relationen : 



44 — f^f '^'^ — cf'^'i — ... — cf'^i = o {h<ic- h,k=i,2,...p) 



liefern. Man erhält diese alle sognr sclion dann, wenn man für 

 jene Functionen f, , (p^, . . .(f),^, von denen ausgegangen wurde, die 

 71 Variabein x selbst nimmt. 



XXII. Die im vorigen Abschnitte aus beliebigen Divisorensystemen 

 (M', M", M'" , . . .) hergeleiteten Systeme von Coefficienten c und die 



' Die Möglichkeit der Bildung von » Fnndainenfalsystemen ^ auch für solche 

 Theilbereiche soll an einer andern Stelle (in art. XXVII und XXVIII) näher nach- 

 gewiesen werden. 



