Kronecker: Cumplexe Znlilen und Mofltilsysteme. 5fil 



kann keines derselben mit dem Divisorensystem {y, , j/, , . . . y,) , dessen 

 Ordnungszalil offenbar gleich Eins ist, identisch sein; keines der 

 Divisorensysteme {N^, N^, N^", ■ . .) ist also ein Primmodulsystera. 



Diejenigen ganzen Functionen von y^,y.i, ■ ■ .y,, bei denen kein 

 von den Variabein y unabhängiges Glied vorkommt, welche also das 

 Divisorensystem (?/, , 3/2 ? • • • 2/,) enthalten, bilden für sich eine Gruppe 

 in dem Sinne, dass sowohl die Addition als auch die Multiplication 

 von zwei Functionen der Gruppe wiederum eine Function der 

 Gruppe ergiebt.' Alle diese Functionen sind nach dem Modulsystem 

 (iVo, iYo', iVg", . . .) linearen homogenen Functionen der v Variabein 

 y congruent. Sind nun u^,u^_, . . .n^ "unbestimmte« Variable, und 

 bildet man die v Functionen: 



(",y, + ?/2 y^ + • • ■ + u„y)y^. (i-= 1 , 2, . . . ,.), 



so kann man an deren Stelle im Sinne der Congruenz modulls 

 Nq, No, No", . . . , die linearen homogenen Functionen: 



nehmen. Der Rang dieses Systems linearer Functionen ist nichts 

 Anderes als derjenige, welcher sich ergiebt, wenn man das Functionen- 

 system als Divisorensystem auffasst. ' Dieser Rang kann gleich v sein, 

 er kann aber auch kleiner als v, ja selbst gleich Null sein. Das 

 letztere ist der Fall, wenn sämmtliche Coefficienten f-, ' gleich Null 

 sind, wenn also das Divisorensystem (N^, NÖ,N^", . . .) aus den ^v{\i + i) 

 Elementen : 



yh^k ih<k; h,k = i,2,...«) 



besteht.'^ Der Rang des Systems der v linearen Functionen von y, , y, > ■ ■ • y. • 



(A, (', A- =: 1 , 2, . . . k) 



(<-,i = I,2,...r) 

 I A=i ■ ■ I 



von Null verschieden ist. Die nothwendige und hinreichende Be- 

 dingung für den höchsten Rang des Systems (F) kann aber aucli 



1 Vergl. art. XXVIII. 



^ Vergl. §. 5 meiner Abhandlung »Nälierungsweise ganz/.ahlige Auflösung linearer 

 Gleicluingen" im Sitzungsbericht von 1S84 S. 1192. 



' Nimmt man dieses Divisorensystem im art. I an Stelle desjenigen, welches 

 dort mit (N', N", N"\ ■ . .) bezeichnet ist, so erhält man die von Hrn. Weierstrass 

 auf S. 413 der Göttiiiger Nachrichten von 1884 als Beispiel des Hrn. Stephanos an- 

 geführte .Vrt complexer Zahlen. 



Sitzungsberichte 1888. 51 



