Kronecker: Complexe Zahlen und Modulsysteme. 567 



(larcjestpUt werden können, sollen aber hier nur für die in diesem 

 Aufsatze ausschliesslich behandelten Modulsystenie relativ höchster 

 Stufe benutzt werden, da sie für Modulsysteme niedrigerer Stufe zu 

 eng gefasst sind. 



Die Möglicldceit der Entscheidung, ob zwei Modulsysteme in eine 

 und dieselbe Classe gehören oder nicht, erhellt daraus, dass von den 

 zu suchenden Functionen: 



die einen als lineare Functionen der Elemente des Fundamentalsystems 

 'nodulisTi','^yt",Wl"',..., die anderen als lineare Functionen der Ele- 

 mente des Fundamentalsystems tnoduUs M' , M", M'", . . . angenommen 

 werden können, und dass deren Coefficienten sich dann als Wurzeln 

 algebraischer Gleichungen bestimmen. Ol) solche Wurzeln einem ge- 

 gebenen Rationalitätsbereich (Si', 9t', JR'", . . .) angehören, lässt sich 

 auf verschiedene Weise ermitteln, z. B. so, wie ich es im §. 4 (Ab- 

 satz 3) meiner Festschrift dargelegt habe. 



Wendet man die hier eingeführte Classeneintheilung auf einfache 

 Moduln ilf(j;) , 9)i (5) an und setzt diese als irreductibel voraus, so er- 

 sieht man unmittelbar, dass bei zwei Functionen derselben Classe jedem 

 Linearfactor der einen ein zu derselben Gattung algebraischer Grössen 

 gehöriger Linearfactor der anderen entspricht. 



Es soll nun gezeigt werden, dass die Modulsysteme {M', M", M'", . . .) 

 und {N', N", N'" ...), welche im art. I behandelt worden sind, zu einer 

 und derselben Classe gehören. In der That geht zuvörderst aus der 

 Congruenz (B) des art. I hervor, dass die eine der Bedingungen (L) 

 erfüllt ist, nämlich dass jedes der mit N bezeichneten Elemente des 

 zweiten Divisorensystems : 



y^y^, _ (.(;*•'■) _ rf '^'y, - c^-^'^y, — ... - cf-^'^y, {h<lc: h,k- = u 2.... .) 

 das Divisorensystem: 



(M) (M', M", ir", ... y, - /,, y. -./;,.. . y. - /,) 



enthält, in welchem /, . /, , . . ./, ganze Functionen von x^,x^, . . . x„ 

 bedeuten. Da ferner i,/, ,/,,.. ./, die Elemente eines Fuudamental- 

 systems im Sinne der Congruenz moduUs M', M'\ M'", . . . bilden und 

 also die Variabein x selbst sich moduUs M' , M" , M'" , . . . als lineare 

 Functionen von /,,/,,.. •/. darstellen lassen, so sei: 



(M') X, - 2 a,,,f, (modd. M\ M", M'" , . . .) {!^kZo,\\::. !) ' 



wo /ö = I zu setzen ist. Alsdann zeigt sich die andere der Be- 

 dingungen (L) in der Weise erfüllt, dass jede der Functionen M das 

 Divisorensvstem : 



