Kronecker: Complexe Zahlen nncl Modiilsysteme. OVl 



die Gleichung 31{x) = o definirte G;ittung algeljraisclier Zahlen unter 

 derjenigen enthalten ist, welche durch die Gleichung ?0?(j;) = o be- 

 stimmt wird. 



Endlich möge noch in einem allgemeineren Falle die enge Be- 

 ziehung dargelegt werden, welche zwischen der Eintheilung der alge- 

 braischen Functionen in Gattungen und derjenigen der Functionen- 

 systeme in Classen besteht. 



Hr. Kneser hat im §.12 seiner Abhandlung »Arithmetische Be- 

 gründung einiger algebraischen Fundamentalsätze« zum ersten Male 

 jenen bekannten und vielfach angewandten Satz, »dass der durch 

 Adjunction zweier Irrationalitäten ^ und *i definirte Rationalitätsbereich 

 mit dem durch Adjunction der linearen Verbindung «^ + ^'»1 definirten 

 identisch ist«, arithmetisch formulii-t und bewiesen.' Er geht dabei 

 von zwei im Rationalitätsbereich (SR', 9i", 5K'", . . .) in-eductibeln ganzen 

 Functionen F(x) , (t(i/) aus, bezeichnet mit ^ eine Wurzel von F{x) = o, 

 mit *) eine Wurzel von G{i/)^=o und mit G'{y,x) einen modulo F(x) 

 irreductibeln Factor von G{y). Alsdann wird gezeigt, dass es ganze 

 Functionen F'(x,y),H(z) mit Coefficienten des Rationalitätsbereichs 

 (5R', SR", SR"', . . .) giebt, für welche — nach der hier eingeführten 

 Ausdrucksweise — die beiden einander aequivalenten Modulsysteme: 



{F(x),G'(y,x)), {F'{x,y),G{y)) 



und der einfache Modul H[:) jirim sind und mittels der Transfor- 

 mationen : 



x = F,{z),y = G,{z) , z = ux-\-cy 



in einander übergeführt werden können, also einer und derselben 

 Classe angehören, während andererseits durch jedes der beiden Modul- 

 systeme, sowie durch den einfachen Modul, wenn man die Functionen 

 gleich Null setzt, eine und dieselbe durch u^ + vy\ repraesentirte 

 Gattung algebraischer Grössen definirt wird. 



XXA^I. Es sei M{x) eine irreductible ganze ganzzahlige Function 

 (n + I )ten Grades von x und der Coefficient der höchsten Potenz von x 

 sei gleich Eins. Ferner sei x„ eine der Wurzeln der Gleichung M(x) = o, 

 also eine ganze algebraische Zahl, und die Elemente irgend eines 

 Fundamentalsystems der durch x^ repraesentirten Gattung'^ alge- 

 braischer Zahlen seien : 



i , x^, xä , . . ■ xjl" . 



Alsdann bestehen erstens ^"("+0 Gleichungen: 



^<"'4-* = c^''-' + r'/'-*>a,-: + . . . + r!,'"'-»4"' ß < A-; A. A- = . , 2, . . . n). 



' .Inmnal fiir MatliPUiatik, Bd. 102. S. 51 — 55. 



- Wigl. §. 24 ineinei' Festsrlirift /.ii Hrn. Kummer's Dc)ctiiijul)iläuiii. 



