572 Sitzung der phys. - iriath. Classe v. 3. Mai. — Mittheilung v. 12. A])ril. 



in welclic'ii die Coefficienten c ganze Zahlen sind, zweitens n Gleicliungen : 



x'^'> = F,{X^) , a.= i,2....n). 



in welchen i-^, (.r J , i\ (.rj , . . . ganze Functionen von x^ mit rationalen 

 Zalilcoet'ficienten sind, drittens existirt ein linearer Ausdruck von x^ 



durch xä, x^' , . . . a;^"' : 



^o = ''•o + ^i ^o + • • • + fn-jf* > 



in welchem c^, c, , . . . c„ ganze Zahlen bedeuten. 



Bezeichnet man nun die ^n(n + i) ganzen Functionen von 



j^^ j^, _ c^^'-f-) — (■['••'■'^ r., — . . . - ("!,■' l„ (A </.-:/<. A- = 1 . 2 ... . n) 



mit ?i', 9t". 9t'". . . . , so lässt sich offenbar für das Modulsystem 

 (9t , 9^ '. 9t"', . . .) jede ganze ganzzahlige Function der Variabein 

 5, , j;,, , . . . 5„ auf eine lineare Function derselben reduciren, und es 

 müssen daher auch ganze Zalilen Co,C, ,...C„ existiren. für welche 

 die Congruenz: 



M{c,+ c,i,+ ... + r„5„) = (;+ C.s,+ . . . + r„5„ (modd. 9t', 9t", 9t"', . . .) 



stattfindet. Substituirt man hierin .r' für j;, . .r" für J,,...^:'"* für 5„, 

 so wird sowohl der Ausdruck auf der linken Seite der Congi-uenz 

 als auch jede der Functionen 9t, welche das Modulsystem bilden, 

 gleich Null, und die Congruenz geht daher in die Gleichung: 



C,+ C,x'+...+C„x^'"^ o 



über, welche zeigt, dass die Coefficienten C sämmtlich gleich Null 

 sein müssen. Es findet daher die Congruenz: 



(P) 31 (x) = o (modd. 91 ', 9t ", 9t '", . . . , x- e„—c,i,- . . . -c„i„) 



statt. Da ferner jede der Functionen 9t gleich Null wird, wenn man 

 darin : 



setzt, so besteht die Congruenz: 



(P') (9t', 9t", 9t'",...) = o (modd.3I{x),...Xj,.-F,(x)....) (A = .. 2, ...»). 



Diese beiden Congruenzen zeigen erstens, 



dass der einlache Modul M(x) und das Modulsystem 

 (9t', 9t", 9t'", . . .) derselben Classe angehören, wenn der (blassen 

 begriff im weiteren Sinne genommen wird. 



und zweitens, 



dass bei der engeren Begriffsbestininnuig die durch M(x) 

 repraesentirte Classe diejenige unter sich enthält, welche 

 durch das Modulsystem (9t', 9t", 9t'", . . .) repraesentirt wird. 



Aber die dm'ch eine Wurzel x^ der Gleichung M{x) = o repraesentirte 



