Kroneckee: C()m])|pxe Zahlen und Mndulsystemp. O / .t 



»Art« oder »Spccies« ganzer algebraischer Zahlen ist wiederum unter 

 derjenigen enthalten, welche durch das den Gleichungen: 



5t'(5,,5.,.-.S„) = o,gi"(s,,53,--.S„) = o,... 

 genügende Werthsystem : 



repraesentirt wird. 



Die Modulsysteme (91', 5V, 5R'", . . .) sind hier von der Function 

 M{x), von der ausgegangen wurde, mit Benutzung des Begriffs der 

 algeln-aischen Zahlen abgeleitet worden; unabhängig davon ist die 

 durch (9V, 5V, 9V', . . .) — im engeren Sinne — repraesentirte Classe da- 

 durch zu charakterisiren , dass sie unter jeder Classe von Functionen 

 M' {x') , M" (x") , . . . enthalten ist, welche im weiteren Sinne des Wortes 

 mit M(x) zu derselben Classe gehören. Wenn also eine Function 

 M\x') mit M{x) in der Beziehung steht, dass zwei Congruenzen: 



(Q) M{f\x')) = o (mod. M'{x')) . M'{f{x)) i^ o (mod. 31{x)) 



stattfinden, in welchen f{x),f'{x') ganze Functionen der Variabein 

 x,x' mit rationalen Zahlcoefficienten .sind, so muss für irgend ein 

 zur Classe (9t', 91", 91'", . . .) — im engeren Sinne — gehöriges System 

 ganzer ganzzahliger Functionen von v Variabein ^,,^2t • ■ ■ ^■-''^ 



{N', N", N'", . . .) 

 eine Congruenz: 



(Q') M' (* (^, , ^3 , . . . ^„)) = o (modd. N\ N", N'", . . .) 



bestehen, in welcher * eine ganze ganzzahlige Function der Varia- 

 bein ^ bedeutet. Dabei ist jede der beiden Congruenzen (Q) nur im 

 weiteren, aber die Congruenz (Q') im engeren Sinne zu nehmen; d. h. 

 nur bei der letzteren Congruenz wird gefordert, dass in der damit 

 aequivalenten Gleichung: 



M' = N' P'+ N" P" + N'" P'" + . . . 



die Multiplicatoren P ganze Functionen der Variabein ^ mit ganz- 

 z ahligen Coefficienten seien, während bei Congruenzen im weiteren 

 Sinne auch gebrochene Zahlcoefficienten zulässig sind. 



Die Congruenzen (Q) , vermöge deren die Functionen M{x) , M' {x) 

 zu derselben Classe (im weiteren Sinne) gehören, können auch so 

 dargestellt werden: 



M{x)~o (modd. M' (x') ,x-f' (x)) , M'(x') = o (modd. 3I(x) , x' - f{x)) , 



und es zeigt .sich also, dass M(x) modido M'{x') durch den Linear- 

 factor x—f'{x') und ebenso M'{x') modulo M{x) durch den Linear- 

 factor x' — f{x) theilbar wird. 



