Krunecker: Ci>iM|ilexe Zahlen und IModulsystemp. ;i / 5 



XXVII. Gemäss den im vorigen Abschnitte enthaltenen Aus- 

 einandersetzungen ersetzt die Betrachtung der ganzen ganzzahUgen 

 Functionen von x^, x^, . . . x„ für ein Prinmiodulsystem /«ter Stufe 

 {M', M", M", . . .), dessen Elemente ganze ganzzahlige Functionen der 

 n Variabein x sind, vollständig die Theorie derjenigen complexen 

 Zahlen, welche dem durch das Gleichungssystem: 



M' = 0, M" =o, M'" = o,. . . 



definirten Gattungsl)ereiche angehören. Aber auch in dem Falle, wo 

 die Coefficienten der Elemente M nicht wie hier dem absoluten Ratio- 

 nalitätsbereiche, sondern, wie im art. XXI, irgend einem anderen 

 dort mit (?R', 9t", 9t'", . . .) bezeichneten Bereiche entnommen sind, 

 können die ganzen Functionen der Variabein x, mit Coefficienten des 

 Bereichs (91', 91", 9t"', . . .), modvUs M', M", M'", . . . untersucht und 

 dadurch alle Ergebnisse erlangt werden, welche eine Theorie der 

 entsprechenden algebraischen Grössen liefern würde. 



Die erste dabei auftretende Frage ist die, welche schon im 

 art. XXI berührt worden ist, nämlich die Frage, ob sich aus der 

 Gesammtheit der modtiUs M', M", M'", . . . betrachteten Functionen 

 besondere »Arten« oder »Species« aussondern lassen. Eine solche 

 Species umfasst alle die besonderen Functionen, welche sich als ganze 

 Functionen gewisser Elemente: 



(p^{x^,x._. . . .X,) , <p^{x^,x^_, . . .X,) , . . . <p^{x,,x,_,. .X,) 



darstellen lassen; und hierbei bedeuten cp^, (p.,, . . . <p^ ganze Functionen 

 von x^,x^, . . . x^ mit Coefficienten des Bereichs (91', 9t", 9t'", . . .). Da 

 jede ganze Function von (/>,,</),,... (^^ inuduUs M', M", M'", . . . einer 

 ganzen linearen Function von /, , /j , • • • /. congruent ist, wenn /, , /j , . . ■/,, , 

 wie oben, die Elemente eines Fundamentalsystems bedeuten, so kön- 

 nen höchstens v + i ganze Functionen von <p, , (p^, . . . cp^ , im Sinne 

 der Congruenz für das Modulsystem (M',M", M'", . . .) , von einander 

 linear unabhängig sein. Sind nun genau jj. + i solche Functionen, 

 unter denen stets eine gleich Eins genommen werden kann: 



i,<p%fi,...'P:, 



von einander linear unabhängig, so bilden diese offenbar ein Fun- 

 damentalsystem für die gesammte Species in dem Sinne, dass jede 

 ganze Function der Species modulis M' , M" , M'" , . . . einer linearen 

 Function von (p° , (p°, . .. (pl congruent wird. Dabei muss fj. < v sein : 

 denn denkt man sich die Functionen (p° als lineare Functionen von 

 /ij/i!-'-/. dargestellt, so würden, wenn dies v von einander linear 

 unabhängige Functionen wären, durch dieselben auch die v Functionen/ 

 darstellbar sein; die Species würde also die sämmtlichen ganzen 



