Kronecker: Complexe Zahlen und Modulsysteme. 599 



ist, und stehen die drei Systeme (j) , (j') , (5") in der durch die 

 Aequivalenz : 



9(0") ' CO) ~ (5) 

 ausgedrückten Beziehung zu einander, so besteht auch die Aequivalenz: 



9((j")J((r)>(5')))~(sV 



Vertausclit man hierin, wie es gemäss der Compositions-Bedingung (S') 

 zulässig ist, die Systeme (j°) und (j") mit einander und ersetzt dann 

 9 ((3") , (j')) durch (j) , so resultirt die Aequivalenz : 



und es zeigt sich also, 



dass nicht nur das System (j') selbst, sondern auch jedes 

 andere, welches aus der Composition irgend eines Systems 

 mit (3') hervorgeht, ganz ungeändert bleibt, wenn jenes 

 System (f) mit demselben comj^onirt wird. 



Setzt man nun voraus, 



dass für je zwei vorhandene Systeme (3) , (3') auch ein System 

 (5") vorhanden ist, aus dessen Composition mit (3') das 

 System (3) resultirt, so wie dass wenigstens ein System (3') 

 vorhanden ist, welches ungeändert bleibt, wenn (3°) damit 

 componirt wird, 



so folgt, 



dass alsdann für jedes der vorhandenen Systeme (3) die 

 Aequivalenz : 



besteht, d. h. dass die Composition von (5°) mit irgend 

 einem Systeme (3) dasselbe vmgeändert lässt. 

 Diese allgemeinei-e Deduction ist geeignet, jene speciellere im 

 art. XXin zu ersetzen, wenn man für das System (5) die Systeme der 

 V Coefficienten der a. a. 0. behandelten linearen homogenen Functionen 

 von yx,y2, • ■ -y, nimmt und als Bedingungen der Composition die 

 Gleichungen : 



^=t:^'''y^'' (A,^,^=.,.,...v) 



festsetzt, für welche alle oben gemachten Voraussetzungen erfüllt sind. 

 Denn wenn gemäss der a. a. 0. mit (H) bezeichneten Voraussetzung 

 3, ,3, ,...3,, solche Werthe sind, dass die Determinante: 



