Kronecker: Complexe Zahlen und Modiilsysteme. 601 



(P) 



ein System bezeichnet, welches so beschaffen ist, dass aus der Com- 

 position von )i Systemen, die mit demselben identisch oder auch nur 

 aequivalent sind, das System (5''"') resultirt. 



',(v) 



Werden die vorhandenen Systeme durch solche, welche mit 1 5 



zu bezeichnen sind, nicht erschöpft, und ist dann (3) irgend ein anderes 



System, so kann man in analoger Art eine Reihe von Systemen mit 



:p) 



bezeichnen, und demgemäss jedes aus: 



iP) und iP) 

 componirte System durch das System der Indices I — , — ^j charak- 



n 



terisiren. Wenn man in der angegebenen Weise fortfahrt, so gelangt 

 man zu einer Bezeichnung aller vorhandenen Systeme durch »Index- 

 systeme« : 



deren Elemente 2,, z^, z^, . . . rationale Zahlen sind, und diese Be- 

 zeichnuugsweise ist jener Composition der Systeme (5) genau angepasst, 

 indem dasjenige System, welches durch Composition der mit: 



bpzeichneten Systeme entsteht, mit: 



(^1 + ^1 , -^2 + ~i ; -^3 + ^3 > • • •) 



bezeichnet ist. 



Das Ergebniss der vorstehenden Entwickelung kann so formu- 

 lii-t werden: 



Giebt es für eine Anzahl von Grössensystemen ein den Be- 

 dingungen (ß') und ((£") entsprechendes Compositions -Ver- 

 fahren, dessen Resultat vermöge jener Voraussetzungen von 

 der bei dem Verfahren beobachteten Reihenfolge unabhängig 

 (R) ist, so kann man für die Grössensysteme stets eine solche 

 Bezeichnung durch Systeme reeller Zahlen: 



(s, , Z^, Z^, . . .} 



wählen, dass jene Composition durch Addition der gleich- 

 namigen System -Elemente ausgedrückt wird. 



Dies soll zuvörderst an einigen Beispielen erläutert werden. 



XXXn. Nimmt man an Stelle der oben mit (5) bezeichneten 



Systeme die sämmtlichen positiven ganzen Zahlen bis zu irgend einer 



