602 Gesammtsitzung vom 17. Mai. — Mittheilung vom 12. April. 



Zahl M und an Stelle der Composition je zweier Systeme die I^Iulti- 

 plication je zweier Zahlen, so wird gemäss der obigen Auseinander- 

 setzung jede ganze Zahl ii durch ein System: 



bezeichnet, für welches: 



ist. Dabei bedeuten p^,p^,p^,... die sämmtlichen Primzahlen, die kleiner 

 als M sind , und die Exponenten z können die Werthe 0,1,2,... 

 annehmen, jedoch nur mit den durch die Bedingung n<M gebotenen 

 Beschränkungen. 



Nimmt man ferner für die Systeme (j) die sämmtlichen positiven 

 Grössen von o bis 00 und wieder, wie im vorigen Beispiel, die Multi- 

 plication für die Composition, so tritt an die Stelle jenes im art. XXX 

 mit (5°) bezeichneten Systems die Zahl EinSj und die Bezeichnmig, 

 welche für die positiven Grössen resultirt, ist die durch ihren Loga- 

 rithmus, bei beliebig angenommener Basis. Die genauere Bedeutung, 

 in welcher dieses Resultat aus dem allgemeineren (R) des art. XXXI 

 hervorgeht, bedarf jedoch einer näheren Erörterung, da dort Reihen 

 discreter Systeme (j) zu Grunde gelegt und rationale Zahlen als 

 deren Indices hergeleitet worden sind, während hier von der stetigen 

 Folge aller positiven Grössen ausgegangen wird und ihre Loga- 

 rithmen als Indices erscheinen. 



Bedeuten p,,p^,p^, ...p„ die ersten v Primzahlen und Ä, , //^ , Ä, , . . . h,. 

 ganzzahlige (positive und negative) in gewissen Grenzen eingeschlossene 

 Werthe, so wird durch den Ausdruck: 



p,'p,'p^\..p^. ia=.,.a,3,...vj. 



wobei die mit ni„ und n„ bezeichneten positiven ganzen Zahlen lieliebig 

 gross angenommen werden können, eine Reihe rationaler Zahlen: 



''1 > ''2 ) ^"3 > • • • 

 dargestellt, welche man durch die Indexsysteme: 

 (Ä, , Aj , /tj , . . . h} 



bezeichnen kann. Aber man kann auch irgend eine dieser rationalen 

 Zahlen r, welche mit (> bezeichnet werden möge, als Basis nehmen 

 und alle Zahlen r als Potenzen von b annäherungsweise so darstellen, 

 dass man sich dal)ei, der Entwickelung im vorigen Abschnitte ent- 

 sprechend, auf rationale Exponenten beschränkt. Denn durch diese 

 Exponenten soll ja nur eine eindeutige Bezeichnung gewährt werden, 

 welche so beschaffen ist, dass, wenn r , r" , r" , . . . eine Anzahl (gleicher 

 oder versclüedeuei-) rationaler Zahlen: 



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