Kronecker: Complexe Zahlen und Modulsysteine. 603 



h, K h., K (— "'« < A„ < n„\ 



p:p:p,'---i\. ia= 1,2, 3- •■•■■] 



sind, deren Product sich ebenfalls unter diesen rationalen Zahlen 

 findet, der Werth des Products r'r"r"'. . . eindeutig durch die Summe 

 der einzelnen zu r', r" , r", . . . gehörig'cn Exponenten bestimmt wird. 

 Dass dies Avirklich — auch bei Beschränkung auf rationale Exponenten 

 — der Fall ist, soll nunmehr dargethan werden. 



Bezeichnet man mit R den Werth des Products r'r"r"' . . ., mit 

 / — 3 die Anzahl der Factoren r', r", r"', . . . und mit L den Werth von: 



?i, + m, n, + nu «i + '»^ „"v + »«i. 



P Ä P. • • ■ P . > 



SO braucht man nur Brüche mit einem Nenner ix zu nehmen, welcher 

 den absoluten Werth \onL\ogb übersteigt, fitr welchen also, wenn 

 b > I gewählt wird: 



|U > /i log b 



ist, um der obigen Forderung zu entsprechen. Nimmt man nämlich 

 für fj. irgend eine der angegebenen Grössenbedingung entsprechende 

 ganze Zahl und bestimmt dann für jeden der Factoren r eine ganze 

 Zahl A gemäss den Ungleichheitsbedingungen: 



log r 

 so ist A die dem Werthe fx — -—- zunächst liegende positive oder ne- 



log b 



gative ganze Zahl', und die Summe: 



A' A" A'" 



— H H +... 



y- 1^ f^ 



unterscheidet sich also von log r' ?•" r'" . . . oder log i2 nur um eine 

 Gr()sse, deren absoluter Werth die Anzahl der Factoren r, dividirt 



/_ o 



durch 2|U, also die Grösse nicht übersteigt. Bedeutet A in ana- 



2IX 



loger Weise die dem Werthe |U , , zunächst liegende ijositive oder 



log b 



log R A 



negative ganze Zahl, so unterscheidet sich r von — um nicht 



log |U 



mehr als — ; die Brüche : 



2IX 



' Wenn zwei ganze Zahlen gleich nahe liegen, niuss die nächst grössere ge- 

 nommen werden, so dass, wie in meinem Anisatze: »Die absolut kleinsten Reste 

 reeller Grössen •■ die einer Grösse a zunächst liegende positive oder negative ganze 

 Zahl durch die Differenz a — R{a) dargestellt und R{a) dabei durch die Ungleichheit 

 — !-<Ä(o)<— bestimmt wird (vergl. den Sitzungsbericht vom 30. April 1885). 



