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über die 

 analytische Darstellbarkeit sogenannter willkür- 

 licher Functionen einer reellen Veränderlichen. 



Von K. Weierstkass. 



Erste Mittheilung. 



Ist /(.r) eine für jeden reellen Werth der Veränderlichen x eindeutig 

 definirte, reelle und stetige Function, deren absoluter Betrag eine end- 

 liche obere Grenze hat. so gilt bekanntlich die nachstehende Gleichung, 

 in der u eine zweite reelle Veränderliche bedeutet und unter k eine 

 von X und ti unabhängige positive Grösse zu verstehen ist: 



(i.) Lim.-^ \f{u)e ^ " ' du = f{x). 



Der in dieser Gleichung ausgesprochene Satz lässt sich leicht ver- 

 allgemeinern. 



Es werde irgend eine Function \^ (x) von derselben Beschaften- 

 heit wie f(x) angenommen, welche ihr Zeichen nicht ändert, der 

 Gleichung \p ( — x) = 4^ {x) genügt und überdies der Bedingung ent- 

 spricht, dass das Integral 



4^ {x) dx 



JJ 



einen endlichen Werth haben muss, der mit w bezeichnet werden 

 möge. Setzt man dann 



so ist 



(3.) Um-F{x,k)=f{x). 



In Betreff" des Beweises der Gleichungen (1,3) möge Folgendes be- 

 merkt werden. Es seien «, , a^_ , /;, , 6, positive Grössen, b^ > a^ , b^ > a^, 

 so hat man 



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