Weierstrass: über Functionen einer reellen Veränderlichen. 635 



Daraus folgt: 



+ — \{f(x - hl) + fix + hu) - 2f{x)) -^ {u) du 



O 



_/(-oo .,. + 00) —f{x) 



■^ (w) du 



+ ^ s, {f(x - e,^) +f{x + £Ä) - 2/(x)) , 



wo £ , £, positive, zwisclien o und i enthaltene Grössen bedeuten. 



Nun seien a;, , x^ irgend zwei bestimmte Werthe von x , G die obere 

 Grenze für den absoluten Betrag von f{x), und ^,,^2 zwei positive 

 Grössen, die beliebig klein angenommen werden können. Dann kann 

 man zunächst der Grösse ^ einen so kleinen Werth geben, dass der 

 absolute Betrag von 



^{f{x-'u)+f(x + u)--2f(x)) 



stets kleiner als g, ist, wenn x in dem Intervall (x, . . .x^), und zu- 

 gleich tf in dem Intervall (o . . . i^) angenommen wird. Hat man einen 

 solelien Wertli von S fixirt, so kann man ferner eine positive Grösse k' 

 so bestinunen. dass für jeden Werth von k. der < A'', 



— 4^ («) du < c/^_ , 



also vermöge der vorstehenden Gleichung die Differenz zwischen 

 F [x , k) und / (x) ihrem absoluten Betrage nach kleiner als g^ + g^ 

 ist, und zwar für jeden der betrachteten Werthe von x. 



Hiermit ist also nicht nur bewiesen, dass F [x , k) für jeden 

 einzelnen Werth von x der Grenze f [x) sich nähert, wenn k unend- 

 lich klein wird, sondern auch, dass die Annäherung für alle einem end- 

 lichen Intervalle angehörigen Werthe von x eine gleichmässige ist. 



Aus der Gleichung (3.) ziehe ich nun eine bemerk ens werthe 

 Folgerung. 



Unter den Functionen -J/ [x) , welche den oben angegebenen Be- 

 dingungen entsprechen, giebt es -unzählige , welche transcendente ganze 

 Functionen vmd zugleich so beschaffen sind, dass auch die zugeliörigen 

 Functionen F{x,k) für jeden bestimmten Werth der Grösse k in be- 



