636 Gesaiiimtsitziing vom 9. Juli. 



ständig convergireiule Potenzreilion von x entwickelt werden können. 

 Nimmt man für 4' (^) fi'^c derartige Funetion, z. B. ^(x) = e~''', so 

 ergieht sich der folgende, wie es mir scheint, merkwürdige und 

 fruchtbare Satz : 



A. »Ist f{x) eine nur für reelle Werthe der A>ränderlichen x 

 eindeutig definirte und durchweg stetige Function, so lässt sich auf 

 mannigfaltige Weise eine transcendeiite ganze Function F {x , k) her- 

 stellen, welche ausser x noch einen veränderlichen (])ositiven) Parameter 

 k enthält und so beschaffen ist, dass für jeden reellen Werth von x 

 die Gleichung 



Um'F{x,k) =/(j:) 



besteht. « 



Unter der Bedingung, dass die Veränderliche x auf irgend ein end- 

 liches Intervall beschränkt werde, kann man ferner, wie gezeigt worden 

 ist, nach Annahme einer l)eliebig kleinen Grösse g', dem Parameter k 

 einen so kleinen Werth k' geben, dass für jeden Wertli von x die 

 Differenz zwischen F(x,k') und f(x) ihrem absoluten Betrage nach 

 kleiner als g' ist. Stellt man sodann F(x,k') in der Form einer 

 Potenzreihe 



A^ + A,x + A^_x- 4- . • . 



dar und bezeichnet die Summe der // ersten Glieder dieser Reihe 

 mit G(x), so kann man, nach Aiuiahme einer anderen positiven 

 Grösse^", dem n einen so grossen Werth geben, dass für jeden dem 

 angenommenen Intervall angehörigen Werth von x der al)solute Be- 

 trag von F{x,k') — G (x) kleiner als g'\ mithin der al)sohite Betrag 

 von f(x) — G(x) kleiner als y' + g" ist. 

 Damit ist bewiesen: 



B. »Ist f[x) eine Function von der angegebenen Beschaffenheit, 

 und wird die Veränderliche x auf irgend ein endliches Intervall be- 

 schränkt, so lässt sich, nach Annahme einer beliebig kleinen j)ositiven 

 Grösse g, auf mannigfaltige Weise eine ganze rationale Function 

 G {x) bestimmen, welclie in dem festgesetzten Intervalle sicli der 

 Function f(x) so genau anschliesst, dass die Ditfereiiz f(x) G(x) 

 ihrem absoluten Betrage nach beständig kleiner als g ist.« 



Nun nehme man zwei unendliche Reihen positiver Grössen 

 «, , «j , (/., , . . . 



y>,y., ih . • • • 



SO an, dass Lun • a„ =^ oo ist und 2^, einen endlielien Wertli liat; 



