Weierstrass: Über Functionen einer reellen Veränderlichen. 637 



dann kann man dem Vorstehenden gemäss eine Reihe von ganzen 

 rationalen Functionen 



G,{x) , G,(x) , (l^{x) , . . . 

 so bestimmen , dass (für 1/ = i , 2 , . . . 00) 



\f(x)-GAx)\<g,. 

 ist, wenn x in dem Intervall {—a^,. . . «„) liegt. Setzt man sodann 



Ux) = G,{x), l(x) = G^+,{x) - G,.(x) , 

 so ist 



XfAx) = G„+A^), 



und tür jeden bestimmten Werth von x 



Lim • G„^,(x) =f(x); 

 woraus sich 



f{x) = xfA^) 



v = 



ergiebt. 



Nun seien x, , x^ irgend zwei bestimmte , endliche Wertlie von x, 

 so ergiebt sich aus den Ungleichheiten 



\f{x) - G, {x) !<(/„, (- a,.<x< a„ ,) 

 \f(x) - G„+, (x) I < (/„+, , (— a„+, <x< 0!„+,) 



dass für jeden dem Intervalle (j-, . . . :r,) angehörigen Werth von x 



\/A-^)\ <9- + £'..+. 



ist, sobald v grösser ist als eine bestimmte Zahl v', die dadurch de- 

 finirt wird, dass jedes Intervall (~ r/„ . . . a„), für welches v > v', die 

 Werthe x, , x., beide enthalten muss. Man hat also 



i I /;, (x) I < 2 ((/„ + 5^,,+,) , wenn x,<x<x,_; 



und es convergirt demzufolge die Reihe 



und somit auch die Reihe 



unbedingt und gleichmässig für die dem Intervalle (x,...x^) an- 

 gehörigen Werthe von x. Es ist aber die W^ahl der Grössen x, , x., 

 keiner andern Beschränkung unterworfen, als dass sie endUche reelle 

 Werthe haben müssen, und die Functionen /(a;) sind unabhängig von 



