638 Gesammtsit/.miE; vom 9. Juli. 



denselben; die vorstehende Reihe convergirt also unliedingt fiiv jeden 

 Werth von o: und gleicli massig in jedem Intervall 



dessen Grenzen endliche Werthe haben. Es gilt also das Theoi-em: 

 C. »Jede Function /(x) von der angegebenen Beschaffenheit lässt 

 sich auf mannigfaltige Weise darstellen in der Form einer unendlichen 

 Reihe, deren Glieder ganze rationale Functionen von x sind; diese 

 Reihe convergirt unbedingt für jeden endlichen Werth von x, und 

 gleichmässig in jedem Intervalle {x,...x^), dessen Grenzen endliche 

 Grössen sind.« 



In Betreff des Satzes (B.) ist zu bemerken, dass man zur Be- 

 gi'ündung desselben nur anzunehmen braucht, es sei \|/ (x) eine trans- 

 cendente ganze Function, welche für reelle Werthe von x die im Vor- 

 stehenden angegel)enen Eigenschaften besitzt, nicht aber, dass auch 

 F{x , k) eine ganze Function von x sei . was keine noth wendige Folge 

 der ersteren Annahme ist. 



Setzt man nämlich , unter a , h zwei beliebig anzunehmende reelle 

 Grössen verstehend , 



so hat man für reelle Werthe von x 



F{x ,k) = F, {x ,k) + — i /{.)• - kit) -4. (») du + ^ \ f{x + ku) -^{u) du . 



2UjJ 2WJ 



und kann also, wenn a,/>,x,,x^ der Bedingung 

 n < X, < x^ < b 



gemäss angenommen worden, und eine beliebig kleine positive Grösse 

 ff, gegeben ist, den Werth von k so fixiren, dass für jeden dem Inter- 

 valle {x,. . . x^) angehörigen Werth von x der absolute Betrag der 

 Differenz /(^) — F,{x,k) kleiner als f/, ist. Dies vorausgesetzt, kann 

 man ferner , da F, (x , k) unbedingt eine (transcendente) ganze Function 

 von X ist, nach Annahme irgend einer zweiten positiven Grösse t/^, eine 

 ganze rationale Function (f{x) so bestimmen, dass in dem Intervall 



{x,^x S x^) 



\G{x)-F,(x,k)\<ff._, 

 also 



\f(x)--G{x)\<cj,+ff., 



ist; was den Satz (B.) giebt. 



