Weierstrass: Über Functionen einer reellen Veränderlichen. 639 



Dieser Beweis des in Rede stehenden Satzes ist, wie ich glaube, 

 vollkommen streng imd reicht aus, wenn nur gezeigt werden soll, 

 dass ganze rationale Functionen G (x) , welche sich einer gegebenen 

 Function f{x) in allen Punkten eines beliebig angenommenen Intervalls 

 {x, . . . x^) so genau anschliessen , wie man will , existiren und auch 

 wirklich bestimmt werden können. Dagegen leidet die im Vorstehenden 

 angegebene Bildungsweise solcher Functionen an einem wesentlichen 

 Mangel. Setzt man 



F,{x,k) = i {klx\ 

 wo (A-),, eine Function von k ist, für die sich der Ausdruck 



k 



ergiebt, und 



G^"^(j.\k)=":x\k\.x'-. 



so existiren zwar, wenn irgend eine positive Grösse <^ gegeben ist, 

 Werthe von k und ii, für welche in dem Intervall (x, ^ x < a;^) 



\f{x)-G^"'{x,k)\<^ 



ist; es wird aber, wenn S unendlich klein wird, k ebenfalls unendlich 

 klein, und es tritt der Übelstand ein, dass aus dem vorstehenden Aus- 

 di'uck von (k),. nicht zu ersehen ist, ob derselbe, wenn k unendlich 

 klein wird, einer endlichen Grenze sich nähere oder doch wenigstens 

 endlich bleibe, was unbedingt erforderlich ist, wenn auf die in Rede 

 stehende Weise für einen beliebig kleinen Werth S ein brauchbarer 

 Annäherungsausdruck der Function f{x) sich soll herstellen lassen 



Wie dem angefiUirten Übelstande abzuhelfen ist, werde ich in 

 einer folgenden Mittheilung zeigen. 



