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IJber das DiRiCHLET'sche Integral. 



Von L. Kronecker. 



I. Bedeutet x eine reelle positive, auf das Intervall von Null bis 

 Ä" beschränkte, Veränderliclie mid f{x) eine eindeutige, reelle , integrir- 

 bare, ihrem absoluten Werthe nach stets unter einer bestimmten 

 Grösse M bleibende Function von x, welche sich für bis zu Niül 

 abnehmende Werthe von x einem bestimmten Grenzwerthe f(o) nähert, 

 so kann die allgemeine Frage nach den weiteren Bedingungen, unter 

 welchen das DuucHLET'sche Integral: 



f(x) sin WXT7 dlogx, 



für alle in dem Intervall von Null bis X liegenden Werthe von x, 

 sich mit wachsendem w dem Werthe ^7r/(o) nähert, unmittelbar auf 

 die speciellere zuräckgeführt werden, bei welcher der Grenzwerth 

 der Function , für a-" = o , selbst gleich Niül ist. 

 Setzt man nämlich /(a;) — /(o) ^/^(^r), so ist: 



f(x) sin wxTi' d log x = j /^ (x) sin wxt d log x +/(o) I sin loxw d log x, 



und dass hier der Factor voji /(o) sich mit wachsendem ui in der 

 That dem Werthe yTr nähert, geht am Einfachsten daraus hervor, 

 dass 



sin tvxTT d log x = ^ lim I sin zir d log z = lim ^ I sin zw d log z , 



k+ I I 



sin^TT r sin, -TT *=^"(— i)* tt 



dz = (- I )' ——r dz und hm > '— — r = -; 



z J z -\- k n=<x,^^„z ^ k sin ZTc 



K O 



ist. 



II. Es sind hiernach nur für Functionen /o(.i"), die sich tur x = o 

 der Null nähern . die Bedingungen zu untersuchen , unter denen der 

 Grenzwerth des Integrals: 



