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(A) (/o(^) ™i wxirdlog X, 



iiir waclisende Werlhe von lo, oder also der Grenzwertli des Integrals: 



(A°) \ fjx) sin ~d log X 



fiir bis zu Null abnehmende Werthe von er, gleich Null wird. 



Das Integral (A°) geht, wenn man darin (tx an Stelle der Inte- 

 grationsvariabeln x setzt, in das Integral: 



(A' ) I/o ( crx) sin xir d log x 



über. Da nun, auf Grund der Voraussetzung: Mmf^ix) = o, für 



irgend eine gegebene, beliebig kleine, j^ositive Grösse r vmd für 

 irgend eine gegebene positive Grösse ^ der Werth a'„ so klein ange- 

 nommen werden kann, dass für alle Werthe von x, die kleiner als 

 Xo sind, 



|/oU-)|<^ 



Avird, und da für alle positiven Werthe A^on x: 



I sin XTT I < XTT 



ist, so wird für alle positiven Werthe von .r, die kleiner als ^ sind, 

 und für alle positiven Werthe von er, die kleiner als " sind, 



sin XT 



U"^) 



"!• 



X 



und also der absolute Werth des Integrals: 

 (B) I/o {(Tx) sin xird log x 



kleiner als t. Der Grenzwertli des Integrals (B) für abneh- 

 mende Werthe von er ist daher gleich Null, und die Gleichung: 



x' 



(B°) lim \f^{(Tx) am xt: il \ng X ^ hm {/„(.r) sin" dXogx ~ o, 



in welcher man für ^ irgend einen bestimmten positiven Werth, 

 z. B. den Werth ^ = i nehmen kann, stellt also eine noth wendige 



