Kronecker: Über das DiRicHLEi'sche Integral. 643 



und hinreichende Bedingung dafür dar, dass der Grenzwerth des 

 Integrals (A) mit abnehmendem Werthe von er verschwinde. 



III. Ebenso wie das Integral (B) nähert sich auch, für irgend 

 welche positiven Werthe von x' und ^', das Integral: 



/, {<Tx) smxTtd log X (? ' > o) 



mit abnehmendem er dem Werthe Null. Denn es verwandelt sich, 

 wenn man x = \- ~ setzt, in 



<TJfA'y~+^t)smL + -~\i 



dz 



<7Z + X 



und das mit er multiplicirte Integral ist seinem absoluten Werthe nach 

 kleiner als - — ^ , da der absolute Werth von /, (.r) (für alle Werthe 



X 



von X in dem betrachteten Intervalle, d.h. für o < x < X) kleiner 

 als Mo ist, wenn mit M^ der Werth: M -\- |/{o) | bezeichnet wird. 



IV. Man kann hiernach in dem Integi-al (A') — ohne den Werth, 

 dem es sich für er =: o nähert, zu ändern — die Grenzen o und 



— durch die Grenzen ^ und \- ^' ersetzen, wo ^ und ^' willkür- 



cr 0" 



lieh anzunehmende positive Grössen bedeuten. Es wird also, wenn 

 der Einfachheit halber: 



fo(x) = xcpix) 

 gesetzt wird: 



— + S' 

 (C) lim I/o (x) sin — d log x = lim j cr<p((Tx) sin XTdx. 



Wenn man nun für ^ irgend eine ungrade Zahl 2?« + i setzt und dann ^' so 



wählt, dass h £' der nächsten über dem Werth von — liegenden 



ö" er 



graden Zahl gleich wird, so lässt sich das Integral auf der rechten 

 Seite der Gleichung (C) als Summe von Integralen: 



"V i(7(p((Tx) smxTrdx 



darstellen , welche , wenn in jedem einzelnen Integrale x + h an Stelle 

 der Integrationsvariabein x gesetzt wird, in: 



