Kronecker: Über das DiRicHLEx'sche Integral. 



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(D) lim I /o (x) sin — d log x = lim I (r S (~ if cp((TX + trh) sin xtt rfe , 



o o 



imd die Gleichung: 



(D°) lim \(T'X {— if (p(<Tx + (T/i)d cos XT = o 



stellt also eine notli wendige und hinreichende Bedingung dafür dar, 

 dass mit abnehmenden Werthen von (r zugleich der Werth des 

 Integrals (A') verschwinde. 



V. Bedeutet x° irgend eine positive Grösse, die kleiner als .r' ist, 

 so verschwindet ofi'enbar der Grenzwerth: 



lim ö- S (— 1 )* (^ (o-j; + crA) 



(0<:.:<I), 



wenn die Summation nur auf alle diejenigen Zahlen h erstreckt wird, 

 für welche 



h> 2 



X" 



se- 



ist. Denn, da für alle diese Zahlen h die Werthe von <p{(yx + (r/t), für 

 beliebig kleine Werthe von er, unter einer bestimmten Grenze bleiben, 

 indem 



I (p ((Tx 4- ö^A) I 



/, (ax + cr/i) 



(Tx + crh 



< 



M^ 



ist, so nähert sich 



<yXcp{2<T^+2^k) ([JJ<..<[^^J) 



für jeden beliebigen zwischen Null und Eins liegenden Werth von 

 ^, mit abnehmendem er einem und demselben festen durch das Inte- 

 gral j (p{z) dz bezeichneten Grenzwerth. Das Aggregat der positiven 



Glieder in der obigen Summe: 



2(— i)*(r<^((ra; + (rh) 



erreicht also bei abnehmendem (t denselben Werth wie das der nega- 

 tiven, d. h. es ist: 



hm (yX(—i)''<p{<Tx + (Th) 

 und also auch; 



lim \ (J %(— if (p {ux + (Th) d cos xtt 



