646 Gesamintsifziing vom 9. Juli. 



gleich Null, wenn die Sumiuation auf alle in dem Intervalle von — 



x' 

 bis — enthaltenen ganzen Zahlen // erstreckt wird. Es besteht dem- 



(7 



nach tiir je zwei beliebige (in dem betrachteten Intervalle von o bis X 

 liegende) Grössen x°, x' die Gleichung: 



(E) lim j cr(/){(r.r) sin xivdx = lim {/„(x) sin — dlogx = o , 

 r=o/ .=0./ <y 



und die Gleichung (B°) muss daher für jede beliebige positive Grösse x' 

 gelten, sobald sie nur fiir irgend eine bestimmte Grösse x° besteht. 



Das Resultat der bisherigen Entwickelungen lässt sich dem- 

 gemäss in folgender Weise formuliren: 



Um erschliessen zu können, dass der Grenzwerth des 

 über jeden beliebigen Theil des Intervalles (o , A') aus- 

 gedehnten Integrals: 



X77 



f^ (x) sin ^-^ dlogx 



für CT ^ o verschwinde, genügt der Nachweis, dass dies für 

 irgend ein bestimmtes Theilintervall (^(y , x°) der Fall ist, 

 d. h. dass 



/ XTT 



(F) lim I /o (x) sin — d log x = o 



wü'd, wenn für ^ und x" irgend zwei bestimmte positive 

 Grössen genommen werden. 

 Es genügt also z. B. der Nachweis, dass die Gleichung (F) für 

 ^ = x° = I besteht, d. h. also, dass 



r' 



(F ') lim j /o {x) sin — d log o; = o 



ist. 



Die Gleichung (F) kann durch die oben mit (D°) bezeichnete 

 Gleichung ersetzt werden. Es genügt also der Nachweis, dass für 

 irgend eine ganze Zahl m und für irgend eine Grösse x°: 



/"' 

 (F°) lim I CT S (— i )* (tx + cr/() ^/cos ttx — o | ,„ < A (a _ ,) < (f!| j 



o 



wird. 



