Kronecker: Über das DiRicHLET'sche Integi'al. 647 



VI. Die Gleichung (F') kann durch die Gleichung: 



(G) lim lim lim I/o {x) sin — d log x = o 



ersetzt wei'den. Denn einerseits folgt offenbar die Gleichung (G) aus 

 der Gleiclnmg (F'), da für jeden Werth von x°, das Integrations- 

 gebiet (^0" , x°) ein Theil des Intervalles (o , X) ist; andererseits lässt 

 sich aber auch die Gleichung (F') aus der Gleichung (G) erschliessen. 

 Wenn nämlich für jede gegebene, positive, beliebig kleine Grösse r 

 eine (wenn auch noch so kleine) Grösse x" und eine (wenn auch noch 

 so gi'osse) Zahl ^ l)ezeiclinet werden kann , für die sich nachweisen 

 lässt, dass der absolute Werth von: 



lim I/o {x) sin — d log x 

 kleiner als r ist, so folgt mit Hülfe der Gleichungen: 



lim I/o {x) sin — d log x = o , lim I/o {x) sin — d log x ^= o , 



(T 



dass auch der absolute Werth von: 



1 /o (.r) sin — 



XTT 



lim I/o (.r) sin — d log x 



kleiner als jene gegebene, beliebig kleine Grösse r sein muss. 



Es kann nun ebenso die Gleichung (F^) durch die Gleichung: 



(G 



o) lim lim lim \(T%{- if <p{(Tx + (yh)d cos xt = o ('"<y(A-i)^[^l j 



ersetzt werden; denn für <j ^ o verschwindet, wie schon oben gezeigt 

 worden ist, der Werth von: 



(r2(— ifcpiTx + o-A) , 



sobald die Summation auf die Zahlen von i bis m und auf alle in 



irgend einem Intervalle von — bis — enthaltenen ganzen Zahlen 



ausgedehnt wird. 



Um das Bestehen der Gleichung ((t^) erschliessen zu können, bedarf 

 es nur des Nachweises, dass für jede gegebene positive Grösse r eine 

 (wenn auch noch so kleine) Grösse x° und eine (wenn auch noch so 



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