Kronecker: Über das DiRiCHLEx'sche Integral. 651 



übergellt. Für solche Functionen c^, fiir die sich diese Summe mit 

 abnehmendem o" einem bestimmten Grenzwerthe , also dem Werthe 

 des Integrals: 



/- 



<p (z) dz 



nähert, ist daher (r2(— i)'' (f> {ex -\- ch) der Zuwachs, welchen der durch 

 die Summe (J^.) dargestellte »angenäherte« Integralwei-th erhält, wenn 

 man in der Mitte zwischen je zwei Ordinalen noch eine neue einschaltet. 

 Die Bedingung (H) kann aber, wie das Beispiel: 



<p(z) = 



logz 



zeigt, auch ertüllt sein, wenn /'(/>(-) ^-, von Null an genommen, keinen 

 endlichen Werth hat. 



Behufs Orientirung über das Maass der Anforderung, welche durch 

 die Bedingung (H) an die Natur der Function cp gestellt wird, kann 

 man den Fall ins Auge fassen, in welchem die Function (p Diffierential- 

 quotienten cp' , cp" hat, und in welchem: 



Xcr(— ~-(/)(ö".r + 2crA- — er) + ^(ö-j:,- + 2<Tk) — ^'Pi'^-^' + 2crÄ- + cr)^ 



mit hinreichender Annäherung durch: 



— 'Cr-'irf)"(ö"a; + -ick) 

 oder auch durch: 



^<T'-(f'{o)-<p'{.n) 



dargestellt wird. In diesem Falle wird — bei endlichen Werthen 

 der Ableitungen <^'(^) — die linke Seite der Gleichung (H) mit ab- 

 nehmenden (7 unendlich klein wie er'. 



fix) 

 X. Die Gleichung (H) geht, wenn man darin die Function -^ — 



X 



an Stelle von <p{x) einiührt, in folgende über: 



(H°) lim lim lim V(- ,ff2^^1±l]^ _ o U^Uh-i)<\^\ o<.<\ 



Falls nun nachgewiesen werden kann, dass der absolute Werth jeder 

 von h = im + i bis zu ii'gend einem der folgenden Werthe von h 

 erstreckten Summe: 



-(— OVolö'-l' + '^1^) (0<X<I), 



A 



für hinreichend kleine W'erthe von er, kleiner als eine bestimmte 

 Zahl iVo ist, so lässt sich daraus nach jener bekannten AßEL'schen 

 Methode' erschliessen , dass der al)solute Werth der Summe: 



' Crelle's Journal, Bd. 1. .S. 314 und Abel, Oeuvres completes, Nouvelle edition 

 1881, Tuuie I, p. 222. 



