Kronecker: Über das DiRiCHLEr'sclie Integral. 653 



S ö- (— |/(o-x + 2crÄ: — u) + f {(TX -{- 2(Tk) — \f{<TX + 2<Tk + C")) 



die algebraische Summe der Inhalte aller derjenigen Dreiecke dar- 

 gestellt wird, deren Eckpunkte durch die Abscissen: 



(TX -\- 2(Tk -- (J, (TX-\-2(Tk, dX -\- 2(Tk -\- (j 



und die Ordinaten : 



f{ux + 2crÄ- — o") ,f{<Tx + 20-^:) ,f((TX + 2(jk + er) 



bestimmt sind. Die Bedingung (K) verlangt daher, dass der (alge- 

 braische) Gesammtinhalt dieser Dreiecke, dividirt durch 2(7 — d. h. 

 durch den Werth der Projection jedes einzebien Dreiecks, auf die 

 Abcissenaxe — bei beliebig abnehmendem er, stets unter einer festen 

 endlichen Grenze bleibe. 



Ich erinnere ferner daran, dass dm-ch jene Summe 



(rX{-iff{<Jx + (Th) 



der Zuwachs dargestellt wird, den die Summe: 



X 2(T f{(TX — (7 -\- 2<Tk) {k=i,z,...r + \) 



k 



erhält, wenn man zur Summe: 



2 ö"/(tr.r + crA) (/< = i , 2 , . . . 2»- + o 



ü))ei'geht, d. h. also der Zuwachs, den der din-ch die Summe: 



X2<S f{(SX — (J -\- 2<jk) (/.-= i,2,...r + i) 



(für hinreichend kleine Werthe von (t) dargestellte »angenäherte« 

 Integralwerth : 



'f{z)dz 



erhält, wenn man in der Mitte zwischen je zwei Ordinaten noch eine 

 neue einschaltet. 



Endlich sei bemerkt, dass unter der Voraussetzung der Existenz 

 von Ableitungen f\z) , f"{z) der Werth von : 



2 (— I )''f{<TX + CrÄ) (A = 1 , 2 , . . . 2r + I) , 



füi' hinreichend kleine Werthe von <t, annäherungsweise durch: 

 |o-(/'(o)-/'(2;-^)) 



ausgedrückt werden kann und sich also — vorausgesetzt, dass die 

 Differentialquotienten von f{z) endlich sind — nicht nur als unter 

 einer festen endlichen Grenze bleibend, sondern sogar als mit ab- 

 nehmendem <T von derselben Ordnimg tmendlich klein werdend erweist. 



