654 Gesammtsitziing vom 9. Juli. 



XI. Sowohl dann , wenn für alle Wertlie x' < x" < x° 



f(x')>fix") 

 ist, als auch dann, wenn durchweg die Ungleichheit: 



fix') <f{x") 

 stattfindet, liegt der Werth der Reihe: 



%{— \)\f{<JX + c-A) (A = i,2 ) 



zwischen dem Werthe des ersten und dem des letzten Gliedes. Die 

 obige Bedingung (K), und daher auch die Bedingung (H), aus der 

 sie abgeleitet ist, umfasst also jene, welche Dirkhlet in seiner ersten 

 (im IV. Bande des C'RELLE'schen Jouruals) über diesen Gegenstand ver- 

 öftentlichten Abhandlung als bestehend vorausgesetzt hat. 



XII. Wenn die Differenz: 



(L) (f(x) dx - T^f(T^ + Th) Q',*^: ) ' 



dividirt durch er, bei beliebig abnehmendem d stets unter einer festen 

 endlichen Grenze N' bleibt, so ist der absolute Werth der Differenz: 



dividirt durch er, d. h. also der absolute Werth von: 



2 (— 1 ) V'(o"<^ + '^f') (° < '' < v) • 



bei beliebig abnehmendem er stets kleiner als -iN' , und die Bedin- 

 gung (K) ist daher erfüllt. Da nun die Differenz (L) sich von der 

 über alle Werthe von h erstreckten Sunnue der Differenzen: 



(L') I f{x)dx - I (T {j'((7^ + C-A) +f(C^ + <Th + (T)) 



nur um die Werthe von: 



f{x) dx und f[x) dx 



d. h. nur um solche Werthe unterscheidet, welche, wenn sie durch «r 

 dividirt werden, bei beliebig abnehmendem <J endlich bleiben, so kann 

 an Stelle von (L) eben jene Summe der Differenzen (L') genonnuen 

 werden. Jede dieser Differenzen stellt aber den Flächeninhalt des 

 Segments dar, welcher einerseits von der ( tirve v/ = /(a) und anderer- 

 seits von der durch die beiden Punkte: 

 {x — ah^^h, y = /(ö-ö^ + o-Ä)) , {x — (j^ -\- (jJi -\- (j , y =^/{ö-(^ + (Th + 0-)) 



