Kronecker: Über das DiRicHLEx'sche Integral. 657 



unmittelbar gefolgert werden kann. Die (Tleicliung (H) geht wiederum, 

 wenn zur Abkürzung: 



2(— I )* f((yx + uh + 0") = A;;, fiUX + 2 dk) (am <h< zn) 



n — rn /i 

 gesetzt wird, in folgende über: 



(H) lim hm hm >~, — , — — , , — r- = o . 



I o < J < I ; m -f- I < n ;$ ^ — | 



Um deren Bedeutung darzulegen, bemerke ich, äass A"„f(a-x+ 2(rk) 

 der «mittlere Werth« der n — iii aufeinanderfolgenden zweiten Diite- 

 renzen : 



— ^f((TX + la-k — (T) -\-f{<JX + 2(jk) — -^f{(TX + 2CrA- + er) {m<k<n) 



ist. 



Substituirt man in der Summe auf der linken Seite der C4]eichung (H) 

 ftir jene mittleren Werthe ihre al)soluten Beträge und nimmt dann 

 an Stelle des positiven Factors: 



n — m 

 {x + 2n) {x + 2n + 2) 



den grösseren Factor --, so verwandelt sie sich in folgende: 



]^ — I A;;,/(o-x + 2(xk)\ l«=m+i ' "' + 2,...Klj, 



Wenn die.se Summe für (r=o, 7« = oo, x° ^ o ver.sch windet, .so ist 

 offenbar die (ileichung (H) erfüllt, und es ergiebt sich daher das 

 Resultat : 



Um erschliessen zu können , dass f lir beliebige Werthe von x' , 



die kleiner als -Y sind. 



Um I f(x) sin -wx- d log x^=\ ''^f(o) 



_ ist. reicht es hin, fiir irgend eine gegebene, noch so kleine 



(K) Grösse t eine Zahl in und eine (Grösse x" , und alsdann eine 



behebig kleine Grösse (r" so bestinmien zu können, dass der 



Werth der Reihe: 



"V — I A", f{<TX + 2 ö-^) I (m < n < r) 



stets kleiner als r bleibt . wenn o < x < i , er < cr° und 

 2r(T < x° ist. 



