Kronecker: Ther das DiRicHLEx'sche Integral. 659 



wenn jeder der mit 9 bezeichneten »mittleren absoluten Be- 

 träge« der mittleren Werthe jener zweiten Diflerenzen, mit 



log — multqilicirt, bei abnehmendem o" sich der Null nähert. 

 d 



XIV. Substituirt man in der oben mit(H°) bezeichneten CTleicluing: 

 lim lim hmV(-i)^ -^°^'''^V^^ ==o (•nS{(h-.)<\^\o<.<] 



für fo(iTx + (rh) seinen Werth: 



f(<TX+>Th)-f(0), 



so wird der Factor von /(o) , nämlich der Grenzwerth der Summe: 



?^ Hi--[f;j) 



für wachsende ;//, offenbar gleich Null. Man kann also in der 

 Gleichung (H°) die B\mction f^ durch die lu-sprüngliche Function / 

 ersetzen. Man kann ferner darin den Strich über dem Simimen- 

 zeichen und zugleich das letzte Glied der Summe weglassen, d. h. 

 nämlich die Glieder: 



/{tx + 2(r;n + er) f{rrx + 2Tr + t) 



2{x + 2ni+i) 2(a;+2r + i) 



i-m 



hinzufugen, da ja deren Grenzwerth für wachsende Zahlen tn und r 

 sich der Null nähert. An die Stelle der Reihe in der Gleichung (H°) 

 tritt alsdann die Reihe: 



und es ergiebt sich das Resultat: 



Um erschliessen zu können, dass für beliebige Werthe von 

 x', die kleiner als X sind, 



lim \f{x) sin ioxtt d log ^ = 7 tj/Io) 



o 



nachzuweisen, dass der Grenzw 



("■■' ist, genügt es nachzuweisen, dass der Grenzwerth 

 j f{i7X + ö'A) 



sich mit wachsendem //( und mit abnehmendem x° der Null 

 nähere. 

 Die hierin enthaltene Forderung lässt sich auch so formnliren: 



