660 Gesammtsity.iing vom ',). .Iiili. 



Für eine gegebene j)0,sitivo, lieliobig kleine Grösse t soll 

 znerst eine Zahl )ii,, und eine Grösse x°, und alsdann für 

 jede Zahl 711, die grösser als w;, ist, und für jede Grösse x°, 

 die kleiner als x° ist, eine Grösse (r° so bestimmt werden 

 (K,) k(")nnen, dass der absolute Werth der Reihe: 



^ f(0-X + <Th) / po-, \ 



>l — I) ; l2m<A<2 — ;o<x<il 



stets kleiner als r l)lei]tt, sobald (T < tr" ist. 



Dieses, wie mir scheint, bemerkenswei'the Resultat, welches sich 

 aus den obigen Entwickelungen ergeben hat, soll nunmehr noch direct 

 verificirt werden. 



Zu diesem Zwecke ist das DiRicHLET'sche Integral: 



f{<Tx) sin XTT d log x 



o 



als Aggregat von sieben Integralen: 



J„ + J, + J3 + J, + ^4 + ^5 + Jfi 



darzustellen, welche folgendermaassen definirt sind: 



/TOC /-■2m + 1 



J^=zf[o) IsiniCTrr^Ioga;, J, =/{o) ismxwdlogx 



O CO 



r^' r'^' ,n<Tx+Th) 



J^ = \f{(7x) sin XTT d \ogx =1 ^V (^ i ) 7 — si" xndx 



J " J/t^2M+i x+n. 



2m+, o 



J3 = ((/(c^) ^/(o)) sin j^TTf/ loga; 



r 



C/ . „ \ sin ^TT , 



J,=j{f{TX)-f(0))^^dx 

 o 



J = \f(crx) sin xTrrf log a; , J^ = (/(«"J:') sin xxd loga; , 



und es ist nun zu zeigen, dass — wenn die bei (Kj) formulirte 

 Forderung erfüllt ist — die Zahlen ni , r und die Grössen (t,x° .stets 

 so gewählt werden können, dass der al)solute Werth des Aggregats: 



J, + ,A + J, + J, + ^5 + ^6 



kleiner als irgend eine gegebene, beliebig kleine Grösse t wird, d. h. 



