Kroneckeh: Üher das DiRicHLEx'sche Integral. 661 



also, dass sich alsdann der Werth jenes üiRiCHLET'schen Integrals 



von dem VVertlie von J„ \\m weniger als r unterscheidet. 



1 1 

 Man nehme nun zuerst eine Zahl »1° so an, dass 2?/«°+i> — 



wird. Dann ist für jede Zahl m, die grösser als vi° ist: 



\ j \ ^ ^ ^- 1 



'' ' ' "~7r(27« + i) ^^' 



Man wähle ferner, gemäss der als erfiillbai' vorausgesetzten Forderung 

 (Kj), eine Zahl ni, die grösser als m, ist, sowie eine Grösse x° , die 

 kleiner als x° ist, und bestimme darnach eine Grösse <t° so, dass der 

 absolute Werth der Summe: 



^ , .f((TX + (T/l) ( fr" 



t7,, x-\-h \ |2<^ 



kleiner als ~t wird, sobald er kleiner als <j° ist. Alsdann ist für 

 jeden solchen Werth von tr: 



Nmimehr l)estimme man eine Grösse ^ so, dass der absolute Werth 

 der Difllerenz f{x) — /(o) für alle Werthe von x, die kleiner als ^ sind, 

 kleiner als: 



6 log {2m -\- i) 



bleibt, und setze dann er = — . Dann ist für jede Grösse tr, die 



kleiner als er' ist, der absolute Werth der Differenz f[(Tx) — /(o) kleiner 



T 



als-— , so lange x < 2w + i l)leibt. Es ist also für jeden 



61og(2/w + i) s -T- j 



solchen Werth von er: 



1-11 , , sin J-Tr 

 zugleich aber aucli , da kleiner als tt ist ; 



X 



Ij I -^^ _!_ 



' ^' 61og(2m+i) ' 



x° 

 Das Intervall zwischen 2r -\- i und — , über welches sich die Integration 



er 



in J erstreckt, ist höchstens gleich Eins, da r == — angenommen 



20" 



worden ist. Der absolute Werth von J, ist also kleiner als: 



M 



log I 



