664 Gesamnitsitzung vom 0. Juli. 



mit abnehmendem er, für jeden Werth von x, der kleiner als x" ist, 



verschwindet. Da hier die Summe der reciproken Zahlen von m -\- i 



r af 



bis ?• durch log — . oder also auch durch log -^-7— ersetzt werden kann, 

 tn 7 (<r) 



so folgt, dass man an Stelle jener Gleichung (G°) die Gleichung: 



x' 

 lim lim (f(x + o") -f(x)) log j- 



) (O < J- < X»), 



oder auch , da wegen der Stetigkeit der Function f(x) der Grenzwerth 

 A''on (f{x + (T) —f(x)^\ogx° für (t = o verschwindet, die Gleichung: 



(S;) lim (fix + ^) - fix)) log ,~ = o (o < 0- < .:»i 



als eine (freilich nur) hinreichende Bedingung fiir das Bestehen 

 der DiRiCHLEx'schen Integralgleichung nehmen kann, wenn dabei die 

 Function (er) so gewählt wird . dass sie die beiden Gleichungen (S°) 

 und (S') befriedigt. 



Der Werth des Integrals in der Gleichung (S) kann durch den 

 Ausdruck : 



£ (/((T + ^^ ((T)) - /(O)) log r 1+ -^""^^ 



dargestellt werden, in welchem — i ^ e ^ + i und o ^ ^< i ist, \md 

 an die Stelle der Gleichung (S') selbst kann daher die Gleichung: 



1(0-) 



(S:) lim [f(<T + SH<T)) -/(o)) log -^ 



treten. 



Bezeichnet man mit Ac den grössten Werth der Differenzen 

 f{x + (t) — f(x) für die verschiedenen Werthe von x , die kleiner als x" 

 sind, so ist Act um so kleiner, je stetiger die Function f(x) in dem 

 Intervalle von o bis x° ist, und man kann sich nunmehr die Func- 

 tion ß{(T) gemäss der aus {S[) hervorgehenden Gleichung: 



(T) Hm Aö-logä|-= o 



definirt denken, so dass also nur irgend eine mit o" selbst ver- 

 schwindende Function \I/(it) anzunehmen und alsdann: 



9((7) ^e ^ 

 zu setzen ist. Die Gleichung (Sl) liefert hiernach , da sich die Differenz : 

 /(ö- + (W(ö-)) -/(o) aus den Differenzen /(er + ^(o-)) -/((r) , /(o") -/(o) 

 zusammensetzen lässt, die Relation: 



