Krunecker Zur Theorie der ellipti.sclien Functionen. 763 



In dem ersten dieser drei Ausdrücke ist die Summation auf alle ^anz- 

 zahligen Wertlie von m , n, jedoch mit Ausnahme des Werthsystems 

 m=/i=o, zu erstrecken, und es ist ferner darin y durch die Gleichung: 



logx\ogi/ = i 



zu ])estimmen. Dieser Ausdruck verschwindet demnach, ebenso wie 

 die beiden folgenden, für x^i oder, was dasselbe ist, für y = o, 

 und es l)leiben daher alle drei Ausdrücke in dem Intervalle von x = (^ 

 bis x = \ endlich, auch wenn p bis zu Null abnimmt. 

 Man kann also um den Grenzwerth: 



linij--L+ V Urrf{m,n)) ' 4 



zu erhalten, auf der rechten Seite der Gleichung (®) p = o setzen; mid 

 dieser Grenzwerth wird alsdann durch das Intes-ral: 



d loa: x 



log- 



X 



dargestellt, wenn hierbei stets die Summation auf alle ganzzahligen 

 Werthe von m.n, mit Ausnahme des Werthsystems ?«^m = o, er- 

 streckt wird. 



Dass dieses Integral , für alle reellen positiven Grössen a^ , c^, 

 einen endlichen Werth hat, und dass also, wenn: 



lim h S ( 27: (a^m- + h^inn + Co?r)V'~* = L(a^, rj 



gesetzt wird, durch L(a„,cJ eine bestimmte, endliche Function der 

 beiden reellen positiven Variabein r/^ , r^ dargestellt wu-d, ist als das 

 Resultat und auch als das Ziel der bisherigen Entwickelungen zu 

 bezeichnen. Dass sich die Werthe dieser Function L{ag , Cg) für alle 

 diejenigen Argumente r/„ , r„, für welche die Verhältnisse der drei 

 Grössen a„ : />„ : c^ oder: 



in ganzen Zahlen ausdrückbar sind, mit Hülfe der elliptisclien Func- 

 tionen darstellen lassen, soll im Folgenden gezeigt werden. 



VII. 



Ist fi„ : li^ : r„ = a : !> : r und bedeuten n , h , r drei ganze Zahlen, 

 von denen die erste und dritte positiv ist, so kann man, wie im art. IV: 



