Kronecker: Zur Theorie iler elli]itisclien Functionen. 7G9 



Da keinen quadratisclien Factor oder wenigstens keinen solchen enthält, 

 nach dessen Abtrennung noch eine Zahl von einer » Discriminanten- 

 form« übrig bleibt. So sind also z. B. — 4 und — 12 Fundamental- 

 Discriminanten. Die möglichen Zahlformen der Fundamental- Discri- 

 niinanten sind nur folgende: 



Dg =: P, wenn P^ i (mod. 4) ist, 

 Dg = 4P, wenn P ^ — i (mod. 4) ist, 

 Dg = 8P, wenn P ^ ± i (mod. 4) ist, 

 wo P irgend ein Product von lauter verschiedenen Primfactoren ist. 

 Bedeutet 4^{D . 4A) die Anzald der (mod. 4^4) verschiedenen 

 Lösungen der Clongruenz: 



B' = D (mod 4.4) , 

 so ist: 



Hierbei ist links die Summation auf alle verschiedenen positiven 

 Zahlen A zu erstrecken,' rechts aber erstens auf je zwei Zahlen a.y 

 (ohne gpmein,samen Theiler). für welche — falls 7) > o ist — die 

 Ungleichheit : 



J J ü 

 besteht, und zweitens auf irgend welche Systeme: 



{a' , /)' , r') , (a" , b" , r") , . . . 

 mit positiven ersten Coefficienten ff',«",..., durch welche die sämmt- 

 lichen verschiedenen Classen quadratischer Formen der DLscriminante D, 

 und zwar jede nur einmal repräsentirt werden. Ferner ])edeuten T,V 

 die Zahlen, für welche: 



T- — DU' = i oder = 4 



eine Fundamentallösung der PELLschen Gleichung darstellt, und es ist: 

 T = i für Z) > o 

 r = 6 fiir D= — 3 , t = 4 fiir D = — 4 , t = 2 für Z) < — 4. 



Eine Discussion der Eigenschaften der mit -4/ bezeichneten zahlen- 

 theoretischen Function, auf welche ich an einer anderen Stelle näher 

 eingehen werde, führt mm, wie bei Dirichlet, von der Gleichung (C) 

 zu der Gleichung: 



' Dabei kommen doch nur solche Zahlen vor, welche den ersten Coefficienten 

 einer iinadrati.schen Form der Discriminante D bilden i^önnen, weil für alle anderen 

 Zaiili-ii d (7>.4.i) - o wird. 



