Kronecker : Zur Theorie der elliptischen Functionen. 7/1 



(1er verschiedenen Classen quadratischer Formen der Discrimiiiante 

 IJ, mit: 



K{D), 



so folgt aus der Gleichung (9)F), dass: 



T H{D) = -^^ K{D) für D<o, 



^ 2|i/i>| " r- f7)/i) 



ist. Diese beiden Resultate lassen sicli in das ehie: 



1) 



zusammenfassen, wenn man die Zahlen T, U als diejenigen Lösungen 

 der Gleichung T' — BTJ- = i oder 4 definirt, für welche das Integral 

 möglichst klein, also die untere Grenze möglichst gross wird. 



An Stelle der Gleichung (9V) kann aucli die folgende treten: 



m ■ H{D) = ^\ogE{D), 



wo di(> eingeklammerte Quadratwurzel die im art. 11 auseinandergesetzte 

 Betleutung hat, und wo mit E{1)) für alle Fälle die Fundamental- 

 Einheit : 



T+ UVD 



(r = 1 , 2) 



r 



d. h. diejenige Einheit bezeichnet ist, durch deren ganze Potenzen 

 sich sämmtliche Einheiten ausdrücken lassen. Es ist danach: 



^(_ 3 ) = ^T " , E{- 4) = e^ "' , E{B) = e" (D<- 4). 



Setzt man wieder D = D^Q-, wo D^ die Fundamental -Discrimi- 

 nante bedeutet, so ist: 



H(D) = H{1K) II I I — (— °J -- I ('/ -ille Piin.fH.toieu vom Q), 



und also : 



^^' Ä'(i)„) ^vV \q} q)\ogE{I)) 



Hiermit wird die Klassenanzahl jeder Discriminante auf die der 

 Fundamental -Discriminanten zurückgeführt, und für diese selbst er- 

 geben sich mit Hülfe der Gleichung {W) die einfachen Ausdrücke: 



