7(S(1 Sitzuiii;- der pliysikalisch- iiinllieiiiatisclirii CI.mssc vciin 30. Juli. 



Wo,i)-en der Voraussetzung Q = i sind ticide Divisoren 1)^ und i)^ 



Fundamental -Discriminanten; man Icnnu daher von den Formeln C"^) 



und ("Pi) des art. VIII Geln-aueli uiaehen und crliält alsdanu ilie 

 Gleicliiuig: 



oder wenn man den Factor K{B^) auf der linken Seite von {W) l>ei- 

 lieliält und von den Logarithmen zu den Grössen sellist übergeht: 



*•.-■ „.i,,,\c} \ IC I \ IC j ) 



Diese Gleiclnuig liefert eben jene liöehst interessanten Beziehungen, 

 die ich in meiner sclion oben citirten ]Mittlieihuig vom 22. Januar 1863 

 angegeben habe, nämlich Bezieluuigen zwischen Zahlenausdrücken. die 

 aus der Theorie der Kreisfimctionen und solchen, die aus der Theorie 

 der elliptischen F'unctionen stammen. Sie liefert auch einen zweiten 

 ganz einfachen Beweis jener Zerlegbarkeit der Gleichungen fiir die 

 singulären Moduln, welche ich in meiner Mittlieihuig vom 26. Juni iNiI-^ 

 entwickelt liabe. 



Anknüpfend an jene werthvollen Andeutungen, welche DuacuLET 

 am Schhisse des §. 7 seiner mehrerwähnten elassischen Abhandlung 

 gegeben hat,' kann man auf dic^ Gleicliung (9)i*) die Theorie der 

 elliptisclien Functionen noch in ganz anderer Weise, als oben, an- 

 wenden. 



Um dies darzulegen, sollen zuerst die JAcoin-LEGENDRE'sehen 

 Zeichen in der (Jleiclumg (9)J) durch die (iAUss'schen Reihen ausge- 

 drückt werden. Für den Fall, dass 7>„ irgend eine Fundamental- 



Discriminnnte ist, lässt sich nämlicli I " j in bc^sonders eleganter 



Weise, wie folgt, darstellen: 



(i-=,.3.5....2|/>„|-i). 





' Kinlfse weitere AiisfiiliniTiniMi lindi-n sicli in ciiiciii Vdii Diiiirin.rr nii iiiicti 

 j;fricli(cl(Mi Uriefe, welciicr vcm Ihn. K. .'-Je iiinixi. in ili'ii (liWiiMiicr Nnclirichli'n mt- 

 öll'cntliolit wird. 



