Kroneckf.r: Zur Tlicorie der elliptischen Functionen. 78 B 



in welclier die Summation links nur auf alle positiven nngraden 

 Zahlen v^,v^ und rechts nur auf alle diejenigen Systeme von Zahlen 

 ///, n auszudehnen ist, für welche der Werth von: 



am' + Jniin + ctf 

 ungrade wird. 



Die auf v, und r, bezügliche Summation lässt sich mit Hülfe 

 jener Formel: 



-^\J^^^ = ^T:^q- sin(f.^ + 1-^)77 (,,.= ■ ,3.5,...), 



welche ich in meiner Mittheilung vom 22. Decemher 1881 entwickelt 

 ha1)e,' vollständig ausführen. Man gelangt auf diese Weise ganz 

 unmittel])ar zu der Gleichung: 



m) ^:'l^ ^ -^^V4^.=l 



2^\VD\C^.\kJ\kJ (kA k. 



r^',(o) ^ fD,\[D.A 'VA DJ ^/A\ - l,„,„=+,„„„+.„., 



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in welcher die Summation links auf: 



A-, = 1 , 3 , 5 , . . . — Z), " I ; Ä-, = 1 , 3 , 5 , . . . A — I , 



rechts aher auf alle diejenigen positiven und negativen Zahlen »i , n 

 zu erstrecken ist, wofür a/ir + h/iin + r/r ungrade wird. Die Func- 

 tion S-, i.st mit der hier überall mit S- bezeichneten Function identisch, 

 wenn in dieser iciri = log q gesetzt wird , S^^ ist durch die Relation : 



^:(<i)^-lq^e^^SrU + ^.logq 



definirt, und die S-- Functionen in der Formel Clß) sind daher durch 

 die Gleichungen : 



&„(i^ = _^ (- q)"' cos 2/i^Tr , ^, (^) = q* 5 (- i )" ?"' + " sin (2« + i ) <?7r 



bestimmt. 



Die zweifache Summe auf der linken Seite der Gleichung (5ß) 

 stellt eine in wesentlicher Hin.sicht verallgemeinerte GaussscIic Reihe 

 dar, und die Wichtigkeit jener in der citirten MittheUung eingeführten 

 Function zweier Variabein: 



^o(a^o(*i)' 



tritt hier, wo sie die Stelle des simis in den G.\uss'schen Reihen ein- 

 ninunt, besonders deutlich hervor. 



Für I)^ = I reducirt sich die zweifache Siunme auf eine einfache 

 GAVSs'sche Summe, in welcher die elliptische Function sin am die 



