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Über den CAUCHY'schen Satz. 



Von L. Kronecker. 



In meiner Mittlieilung vom 2C). Juli 1880 haho ich den CAUcnY'schen 

 Satz, wonach das über eine geschlossene Curve erstreckte Integral 

 f(IJ\x . y) unter gewissen in Beziehung auf die Function f{x . y) zu 

 maclienden Voraussetzungen gleich Null ist, mittels einer Transformation 

 der Variabein x.y bewiesen, bei Avelcher die Umgrenzimgs- Curve durch 

 die Constanz der einen von den ])eiden neuen Variabein charakterisirt 

 ist. Wie einfach und naturgemäss auch diese Bevveismethode ist, so 

 scheint mir doch — wenigstens in pädagogischer Hinsicht — die 

 folgende vorzuziehen, welche ich neulich in meinen Universitäts- 

 Vorlesungen entwickelt habe. 



Ich formulire zunächst den zu l)eweisen(len Satz folgendermaassen : 



«Wenn von einer Function /(a- ,?/) vorausgesetzt wird, dass ihre 

 ersten und zweiten Ableitungen in einem von einer geschlossenen 

 Curve mngrenzten Gebiete durchweg endlich und eindeutig sind, so 

 lässt sich erschliessen , dass das über diese Curve erstreckte Integral 

 J'ilf(x.y) gleich Null, und dass also die Function f(x,y) in dem 

 bezeichneten Gebiete eindeutig ist.« 



Icli liemerke dabei, dass diese Eindeutigkeit von f(x , y) selbst 

 in meiner erwähnten Mittheilung vom Juli 1 880 durch ein Versehen 

 an Stelle der Eindeutigkeit der Ableitungen unter die Voraussetzungen 

 aufgenommen ist. Doch ist natürlich lieim Beweise kein Gebrauch 

 davon gemacht worden. 



Da die zweiten Ableitungen von f{x , y) in dem betrachteten 

 Gebiete als endlich vorausgesetzt sind, so nähern sich die Werthe 

 der beiden nach x und y genommenen ersten Ableitungen von /(a;,y) 

 in gleichmässiger Weise vom Innern her denjenigen Werthen, die sie 

 auf der Begrenzung erhalten. An Stelle <ler Begi'enzungscurve kann 

 daher ein derselben ' eingeschriebenes gradliniges Polygon genommen 

 werden, welches sich der Curve hinreicliend nahe anschliesst, imd da 

 sieb ein Polygon in lauter rechtwinklige Dreiecke zerlegen lässt, 

 deren Katheten den beiden Coordiuatenaxen parallel sind, so genügt 



