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Über die 

 analytische Darstellbarkeit sogenannter willkür- 

 licher Functionen einer reellen Veränderlichen. 



Von K. Weierstrass. 



Zweite Mittlieilune;. 



His l)edeute/(a;), wie in der am 9. Juli d. J. in der Akademie gelesenen 

 Mittlieilung-, eine für jeden reellen Wertli der Veränderlichen x ein- 

 deutig definirte, reelle und stetige Function, deren absoluter Betrag 

 eine endliche obere Grenze (G) hat. Dagegen sei -^^ix) eine transcen- 

 dente ganze Function, von der zunächst nur angenommen wird, dass 

 sie reell sei für reelle Werthe von x, und der Bedingung ■4/(—a;)=\|/(a;) 

 genüge. Ferner seien «, y reelle, von einander unabhängige Ver- 

 änderliche, mid es werde 



]/\^(?« + vi) \^ {u — vi) = •4'(?< , v) 

 gesetzt, wo der Quadratwurzel ihr positiver Werth beizulegen ist. 



Dann ist der absolute Betrag von— j— gleich i, uiid man hat daher, 



■^^iu , v) 



wenn a , h reelle Grössen sind , 



{f{u)-l{u + vi)du = (/•(») ' ^^ ^ "^ . ^|/ (» , D) du = sG f4^(u,i-)dH , 

 J .' \f/(?/ , v) -' 



wo £ eine complexe Grösse, deren alisoluter Betrag kleiner als 1 ist, 

 bezeichnet. Angenonnnen nun, es sei ■v|/(a') so beschaft'en, dass das 

 Integral 



[•4^(u , v)du 



für jeden Wertli von r einen endlichen Werth hat, so erhalten, wenn 

 f/, , ci„ , /;, , />^ positive Grössen sind, Ä, > a^ , />., > (U, die Integrale 



4/ (« , r) du , pl^ (w , i') du 



