Weierstrass: Über Functionen einer reellen Veränderlichen. 7J1 



,„ i-jM + *")+(» - ^/) ä,. = ^^ ^;, ^ ^^y 



eine für Jeden endlichen Werth von x eindentig definirte, endliche 

 Grösse, die a. a. 0. mit F{x , k) bezeichnet worden ist. 



Es ninss nun nachgewiesen werden, dass F[x, k) eine (transcendente) 

 ganze Function von x ist. 



Man setze für den absoluten Betrag von x eine obere Grenze r 

 fest, so kann man, nach Annahme zweier beliebig kleinen positiven 

 Grössen y' , (j" , zwei andere («, , w,) bestimmen, für welclie die Summe 



i ,[5 + *") 4. (« - ^ .n. + ^JM + *") i, („ - ^]*, 



für alle der Bedingung 



entsprechenden Werthe von ^,1^' kleiner als r/' ist. Dann hat man 



wo e' eine Grösse, deren absoluter Betrag kleiner als i ist, bedeutet. 

 Das Integral auf der Rechten dieser Gleichung lässt sich aber in eine 

 beständig convergirende Potenzreihe '^[x] entwickeln, und man kann, 



wenn die »Summe der n ersten Glieder von --,— '!P(a;) mit G'"'(j;) be- 



2kw 



zeichnet wird, n so gross annehmen, dass für jeden der Bedingung 



|a;|^r entsprechenden Werth von x 



\F{x,k)~G^''\x)\<y' + g" 



ist. 



Dies festgestellt, kann man ferner durch das zur Begründung 



des Satzes (C.) der ersten Mittheilung angewandte Verfahren zeigen, 



dass F{x , k) sich darstellen lässt in der Form einer unendlichen Reihe, 



deren Glieder ganze rationale Functionen von x sind, und dass diese 



Reihe für alle in irgend einem endlichen Bereiche enthaltenen Werthe 



von X gleichmässig convergirt. Man hat zu dem Ende zwei Reihen 



positiver Grössen 



''1 > ''2 ) ' 3 ' • • • 



.'/■ . 5'2 . 5^3 ' • • • 

 so anzunehmen, dass Lim • r„ = 00 und 2 (J„ einen endlichen Werth hat, 



sodann eine Reihe von ganzen rationalen Functionen G^[x),G^{x), 

 G^[x) , . . . so zu bestimmen, dass tiir jeden der Bedingung |a;|<?'„ 

 entsprechenden Werth von .r 



(2) \F(x,k) — G.Xx)\<y„ (v=i,2,...oo) 



ist, und 



bitzungsbeiiclite 1885. 71 



