792 Sitzung der physikaliscli-inallieiiialisrlien Cla.sse vom 30. Jnli. 



(4) /„(x) = G, (X) , l\x) = (;.+ . (X) - GM) 

 zu setzen; dann ist 



(5) F{x,k)^XjM- 



Nach einem Satze aber, den ich fi'üher (Monatsberichte der 

 Akademie aus dem Jahre i88o, S. 723) in elementarer Weise be- 

 wiesen habe, kann man die Reihe auf der Recliten dieser Gleichung, 

 weil sie in jedem endlichen Bereiche gleichmässig convergirt, in eine 

 ftir jeden endlichen Werth von x convergirende Potenzreihe ^(x) ver- 

 wandeln. 



Nimmt man 



■^(x) = e~^\ 

 so ist 



•4^{u, v) = e""'"^"', 



und diese Function -^{UjV) hat die im Vorstehenden angenommene 

 Beschafl'enheit. Dasselbe ist der Fall, wenn man 



^|/ [x) = e- <"' ^' + ^»-r' + • • • + fj-f'-) 



setzt und der Constante c einen positiven Werth giebt, während 

 p, , . . . <"„_, beliebige reelle Werthe haben können. 



Es existiren also in der That, wie in der ersten Mittheilung bei 

 Begründung des Satzes (A.) angegeben worden ist, unzähüge Func- 

 tionen -^(x) von der Beschafl'enheit, dass die zugehörigen Functionen 

 F{x , k) transcendente ganze Functionen sind. 



Jetzt l)edeute F{x,k) irgend eine bestimmte von diesen Functionen, 

 so lässt sich die Potenzreihe ^(x), durch welche dieselbe dargestellt 

 werden kann, in eine nach Kugelfunctionen fortschreitende, eben- 

 falls für jeden endlichen Werth von x convergirende Reihe verwandeln. 

 Aus dem bekannten Satze des Hrn. C. Neumann, betreffend die Ent- 

 wickelung eindeutiger analytischer Functionen einer complexen Ver- 

 änderlichen X nach den Kugelfunctionen erster Art, ergiebt sich 

 nämlich unmittelbar, dass jede (transcendente oder rationale) ganze 

 Function G{x) dargestellt werden kann dm-ch eine tlir jeden endlichen 

 Werth von x convergirende Reihe von der Form 



G{x) = 5 C„PM(a;).' 



' Dies lässt sich übrigens auch folgenilcnnaassen beweisen. Ans <ler Definition 

 der Kugelfunctionen ergiebt sich: 



|P(»)(i-)|<|.r+ V^r^^^il", 

 wenn man \^x^ — i so bestimmt, dass | j + y^x' — > I = ' '**• Ferner ist 

 j" — c„,oP^")x + c„.,P(»-')(r) -I- . . . , 



