hat, wo x' eine reelle Veränderliche bezeichnet; woraus sich 



2^ + I "+' 



Weierstrass: Über Functionen einer reellen Veränderlichen. 793 



Die Coefficienten dieser Reihe sind so hescliaffen, dass 



für jeden positiven Werth r einen endlichen Werth hat. Ferner ist 

 die Reihe für alle einem endlichen Bereiche angehörigen Werthe von x 

 gleichmässig convergent. (Vergi. die Abhandhing des Hrn. Thome: 

 Über die Reihen, welche nach Kugelfunctionen fortschreiten, Borchaedt's 

 Journal, B. 66, S. 337). Auf der letzteren Eigenschaft der Reihe beruht 

 es, dass man 



\g {x') P<"'(^') ff^' = 3„ C^ [P'"*!-^') ^'"'(^') <ix' 

 —I 



le Veränderliche bezeichnet; woraus 



^^ ^ 2^ + I Cq^^'^ P''-)(.-c') rix' (fi = o,i,...oo) 



ergielit. 



Für die Function F{x , k) hat man also 



— 1 —CK \ / 



= 11±1 fpw/^') Ta^' j^ /fu) ^r^^^ flu , 



4ü) J .1 



^ —I —00 



woraus man, wenn 



^^ \f{x' + u) P<"' (x') dx' = /, (n) 

 —1 



und somit, wenn 



n=0 



eine hesländig convergirende I'utenzreihe von x ist, 



i vi„ X" = V V ^,.<-„,„p("-2")(j-) . 



Es sind aber die r„,., s.Ttnmtlich positive Grössen und V (■„ „ =r i ; also ist 



X\c„..,P('—--)(jr) \:i\x+ Vx^^^ I». 



Daraus folgt, dass i, i | ^„ c„,,, P<")(.r) | eine endliche (jrösse ist, und daher wenn 

 (für f^ =: o , I , 2 . . . 00) 



C^ = X t«,. A„ = X tV + 3.,. A + 2. 

 (" — 2^ = p) 



gesetzt wird, die üleichung 



%A,.x»^ Co+ I QP(")(.r) 

 bestellt. 



