Weierstrass: Über Functionen einer reellen Veränderlichen. /9o 



anzunehmende kleine Grösse ist, für den al)soluten Beti'ag von ^ eine 

 obere Grenze Ä' so festsetzen, dass 



^fi/Afcti + ^it) -fMn)) 4^(u)du 



dem absoluten Betrage nach kleiner als S^ imd somit 



\cp.xk + S)^cpAfc)\<S, + l 



ist, wenn |^|<(^'. Es ist also (/),.(ä-) eine stetige Function von k. 



Hiermit ist also bewiesen: 



»Ist \^(^) eine Function von der oben angegebenen Bescliafl'en- 

 lieit, und 



so bat man für jeden endlichen complexen Werth von x 



(6) F{x,k)='x cp,.{f<:)P^'Hx), 



wenn 



2V + I et] > 





(7) 



gesetzt wird; und es sind dann die (p„{k) stetige Functionen von A-. « 



Jetzt werde unter x wieder eine reelle Veränderliche verstanden, 

 so dass 



/(a;) = Lim.i^(a:,^) 



* = 



ist. Wird dann x auf das Intervall 



— a<x<a 

 beschränkt, wo a eine beliebige positive Grösse bedeutet, so kann 

 man, nach Annahme einer Ijeliebig kleinen positiven Grösse (/', zu- 

 nächst dem Parameter k einen liestimmten Werth k' beilegen, für 

 welchen 



\f{x)~Fix,k')\<ff' 

 ist. Bezeichnet man ferner mit It den grössten Werth, den der 

 absolute Betrag der Grösse 



Yx^—i+x 

 liir die jetzt Ijetrachteten Werthe von x erhalten kann, so hat man 

 I , wenn a<i. 



R— \ I-. 



a + ycr — I , wenn a > i , 



und es ist daher, wie schcjn bemerkt. 



