Weierstrass: Über Functionen einer reellen Veränderlichen. 797 



handelt, eine ganze rationale Function G{x) zu bestimmen, welche sich 

 in einem gegebenen endlichen Intervall (x, . . . x^) der Function f{x) 

 so genau anschliesst, dass der alvsolute Betrag der Difterenz/(x) — G{x) 

 für jeden Werth von x unter einer beliebig festgesetzten Grenze g liegt. 

 In der That, definirt man eine Function f,{x), indem man fest- 

 setzt, es solle 



f,(x) =f(x,) sein, wenn x<a;, , , 



/j (x) = f{x) , wenn x^SxSx,, 



fi{x)=^f{x.,), wenn x>x^, 

 so ist /,(x) so beschaifen, wie bisher von der Function f{x) ange- 

 nommen worden ist, und man kann demnach eine Function G{x) so 

 bestimmen, da.ss für jeden in dem Intervalle [x^...x^) enthaltenen 

 Werth von x 



\f,{x)~G(x)\<g, 

 und somit auch 



\f{x) -G{x)\<g 

 ist. 



Nun ist bei dem in der ersten Mittheilung gegebenen Bevv(nse 

 des Satzes (C.) von der Function /(j;) nur vorausgesetzt worden, dass 

 es nach beliebiger Annahme zweier positiven Grössen o,, , g^, möglich 

 sei, eine ganze rationale Function G^x) herzustellen, für welche 



\f{x) — G,.{x) I < g ist, wenn - a^^x< cr„; 

 und es gilt also der in Rede stehende Satz in unver- 

 änderter Fassung, wenn von der Function f(x) nur ange- 

 nommen wird, dass sie für jeden endlichen reellen Werth 

 von X einen bestimmten endlichen und mit x stetig sich 

 ändernden Werth habe. 



Es bleibt jetzt noch zii imtersuchen, welche Modificationen die 

 bisher entwickelten Sätze erleiden, wenn man auch die Annahme, 

 dass f{x) eine durchweg stetige Functio)i sei, fallen lässt. Damit 

 beabsichtige ich in einer folgenden Abhandlung mich zu beschäftigen. 

 Darauf wird dann die Untersuchung auch auf eindeutige Functionen 

 von mehreren reellen Argumenten auszudehnen sein, was für durchweg 

 stetige Functionen keine Schwierigkeit hat. 



Ich will jetzt annehmen, es sei f(x) eine periodische Function, 

 d. h. sie ändere ihren Werth nicht, wenn ihr Argument um eine 

 bestinmite positive Grösse 2c vermehrt wird. Dann lässt sich die 

 zugeliörige Function F{x , k) auch darstellen in der Form einer für 

 jeden complexen Werth von x convergirenden FoiRiER'sclien Reihe, 

 deren Coefficienten stetige Functionen der Grösse k sind. 



